| @@ -1,132 +1,109 @@ |
| <html> |
| <!DOCTYPE html> |
| <head> |
| <html lang="ru"> |
| <title>Решебник Савченко</title> |
| |
| |
| |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| |
| <meta charset="utf-8"> |
| |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> |
| |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> |
| |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> |
| |
| |
| |
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> |
| <head> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> |
| <meta charset="utf-8"> |
| |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| |
| <meta name="description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| |
| <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> |
| |
| <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> |
| |
| <meta property="og:title" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| |
| <meta property="og:description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| |
| <title>Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. </title> |
| |
| <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> |
| |
| <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> |
| |
| <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| |
| <script type="text/x-mathjax-config"> |
| |
| MathJax.Hub.Config({ |
| |
| extensions: ['tex2jax.js'], |
| |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| |
| tex2jax: { |
| |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| |
| processEscapes: true, |
| |
| processClass: 'tex2jax', |
| |
| ignoreClass: 'html' |
| |
| }, |
| |
| showProcessingMessages: false, |
| |
| messageStyle: 'none' |
| |
| }); |
| |
| </script> |
| |
| </head> |
| |
| <body style=""> |
| |
| <header style="text-align:center;"> |
| |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| |
| <p class="author"> |
| |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| |
| October 2023 |
| |
| </p> |
| |
| </header> |
| |
| |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <h3 id="back-link"><a href="../../#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| |
| |
| <script type="text/javascript" async |
| <h3> Условие </h3> |
| src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> |
| <p> |
| </script> |
| $3.1.1.$ Посередине натянутой струны |
| |
| |
| <!-- MathJax configuration --> |
| |
| <script type="text/x-mathjax-config"> |
| |
| MathJax.Hub.Config({ |
| |
| extensions: ['tex2jax.js'], |
| |
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], |
| |
| tex2jax: { |
| |
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], |
| |
| processEscapes: true, |
| |
| processClass: 'tex2jax', |
| |
| ignoreClass: 'html' |
| |
| }, |
| |
| showProcessingMessages: false, |
| |
| messageStyle: 'none' |
| |
| }); |
| |
| </script> |
| |
| </head> |
| |
| |
| |
| <body style=""> |
| |
| <div class="container row"> |
| |
| <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;"> |
| |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| |
| <p class="author"> |
| |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| |
| October 2023 |
| |
| </p> |
| |
| </header> |
| |
| </div> |
| |
| |
| |
| <div id="main" class="col col-lg-9"> |
| |
| <div class="row"> |
| |
| <div class="col caption"> |
| |
| <h2> |
| |
| <a href="../../ru#3.1">←Назад</a> |
| |
| </h2> |
| |
| </div> |
| |
| </div> |
| |
| |
| |
| |
| |
| <div id="1" class="row odd"> |
| |
| |
| |
| <div class="col col-lg-12"> |
| |
| <h3> |
| |
| Условие: |
| |
| </h3> |
| |
| <div class="task"> |
| |
| <p> |
| |
| \(3.1.1.\)Посередине натянутой струны |
| |
| длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная |
| длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная |
| сила действует на шар со стороны струны, |
| сила действует на шар со стороны струны, |
| если поперечное смещение его из положения |
| если поперечное смещение его из положения |
| равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать |
| равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать |
| зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта |
| зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта |
| сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия |
| сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия |
| шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. |
| шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. |
| </p> |
| |
| |
| |
| <div class="StatementDiv"> |
| |
| <img class="Statement" src="statement.png" alt="9.1.14"> |
| |
| </div> |
| |
| </div> |
| |
| <hr> |
| |
| <h3> |
| |
| Решение: |
| |
| </h3> |
| |
| |
| |
| <div class="solutions"> |
| </p> |
| <p class="TxtSolutions"> |
| <center> |
| $F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$$=[x\ll l]=\fbox{$-2F\frac{x}{l}$}$ |
| <figure> |
| $dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}$$=2F\frac{x}{l}dx$ |
| <img src="3.1.1.png" |
| $\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx$$=\frac{2F}{l}\int_{0}^{x}dx=\fbox{$\frac{Fx^2}{l}$}$ |
| loading="lazy" width="300" /> |
| $\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow\upsilon=\fbox{$x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$}$ |
| <figcaption> |
| </p> |
| К задаче $3.1.1$ |
| </div> |
| </figcaption> |
| |
| </figure> |
| |
| </center> |
| |
| <p> |
| |
| </p> |
| |
| |
| <h3> |
| <h3>Решение</h3> |
| Ответ: $F'=-2F\frac{x}{l};$ $U=\frac{Fx^2}{l};$ $\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$. |
| <p> |
| |
| Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$: |
| </h3> |
| $$F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$ |
| </div> |
| Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$ |
| |
| $$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$$ |
| |
| Т.к. $x\ll l$, то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$: |
| |
| $$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$$ |
| |
| Подставляя в $(1)$ |
| |
| $$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$$ |
| |
| Найдём малое изменение энергии как |
| |
| $$dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$ |
| |
| Далее, проинтегрируем $dU$ от $0$ до $U$ |
| |
| $$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$$ |
| |
| Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении |
| |
| $$\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \boxed{\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}}$$ |
| |
| </p> |
| |
| |
| </div> |
| <h4>Ответ</h4> |
| |
| <p> |
| |
| $$\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$$ |
| |
| </p> |
| |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> |
| |
| Dzikan Mikita<br> |
| |
| </p> |
| |
| |
| |
| |
| |
| <footer class="row container"> |
| |
| |
| |
| |
| </div> <footer class="row container"> |
| |
| <br> |
| <br> |
| <p> |
| <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> |
| </p> |
| <p> |
| <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> |
| </p> |
| </footer> |
| </footer> |
| |
| </body> |
| |
| |
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> |
| |
| <script type="text/javascript"> |
| |
| $(function(){ |
| |
| setTimeout(function () { |
| |
| $('.back-to-top').affix(); |
| |
| }, 100); |
| |
| |
| |
| }); |
| |
| </script> |
| |
| |
| |
| |
| |
| </body> |
| |
| </html> |
| </html> |
