Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.3.8.md
+42 −3
| @@ -1,11 +1,50 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.3.8.$ | ||
| + | $5.3.8.$ | ||
| + | а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: $n = \alpha h$. Масса атома $m$, длина его свободного пробега $\lambda$, а температура $T$. Оцените плотность этих атомов на земле. | ||
| + | б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при $20^\circ \text{C}$. Радиус молекул воды $0,21 \text{ нм}$. Радиус молекул азота и кислорода $0,18 \text{ нм}$. | ||
| ### Решение | |||
| − | * Примечание : судя по формулировке и предупреждению о неточностях , в пункте (а) скорее всего нужно оценить плотность потока этих атомов на землю, а не просто "плотность" - иначе ответ тривиально равен нулю, ведь по условию $n(0) = 0$ | ||
| + | <b>Пункт а)</b> | ||
| + | Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а "плотность потока" атомов на землю. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов. | ||
| + | Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна: | ||
| + | $$W_1 \approx \frac{1}{2} n_{h+\lambda} \bar{v}_z$$ | ||
| + | где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx \sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$. | ||
| + | |||
| + | Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$: | ||
| + | $$W_2 \approx \frac{1}{2} n_{h-\lambda} \bar{v}_z = \frac{1}{2} \alpha(h - \lambda) \sqrt{\frac{kT}{m}}$$ | ||
| + | |||
| + | Результирующая плотность потока радиоактивных атомов на Землю — это разность этих двух встречных потоков: | ||
| + | $$W = W_1 - W_2 \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot \alpha (h + \lambda - (h - \lambda))$$ | ||
| + | $$W \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot 2\alpha \lambda = \alpha \lambda \sqrt{\frac{kT}{m}}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>Пункт б)</b> | ||
| + | |||
| + | Оценим коэффициент диффузии $D$ водяного пара в воздухе. В молекулярно-кинетической теории он выражается как: | ||
| + | $$D = \frac{1}{3} \lambda \bar{v}$$ | ||
| + | где $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$ — средняя скорость молекулы воды ($\mu = 18 \text{ г/моль}$). | ||
| + | |||
| + | Длина свободного пробега молекулы воды с учетом относительного движения молекул воздуха вычисляется по формуле: | ||
| + | $$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma} = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (r_1 + r_2)^2}$$ | ||
| + | Концентрацию молекул воздуха $n$ при нормальном атмосферном давлении $P \approx 10^5 \text{ Па}$ найдем как $n = \frac{P}{kT}$. | ||
| + | Тогда итоговая формула: | ||
| + | $$D = \frac{1}{3} \cdot \frac{kT}{\sqrt{2} P \pi (r_1 + r_2)^2} \cdot \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>Вычисление:</b> | ||
| + | Подставим данные: $T = 293 \text{ K}$, $r_1 + r_2 = (0.21 + 0.18) \text{ нм} = 0.39 \cdot 10^{-9} \text{ м}$. | ||
| + | Средняя скорость $\bar{v} \approx \sqrt{\frac{8 \cdot 8.31 \cdot 293}{3.14 \cdot 0.018}} \approx 587 \text{ м/с}$. | ||
| + | Концентрация $n \approx \frac{10^5}{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 293} \approx 2.47 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$. | ||
| + | Длина свободного пробега $\lambda \approx \frac{1}{1.41 \cdot 2.47 \cdot 10^{25} \cdot 3.14 \cdot (0.39 \cdot 10^{-9})^2} \approx 6.0 \cdot 10^{-8} \text{ м}$. | ||
| + | |||
| + | Считаем коэффициент диффузии: | ||
| + | $$D \approx \frac{1}{3} \cdot 6.0 \cdot 10^{-8} \cdot 587 \approx 1.17 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2/\text{с}$$ | ||
| + | Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| + | а. $W = W_1 - W_2 \approx \alpha \lambda \sqrt{kT/m}$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | б. $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$ | ||
| @@ -1,11 +1,50 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.3.8.$ |
$5.3.8.$ | ||
| а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: $n = \alpha h$. Масса атома $m$, длина его свободного пробега $\lambda$, а температура $T$. Оцените плотность этих атомов на земле. | |||
| б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при $20^\circ \text{C}$. Радиус молекул воды $0,21 \text{ нм}$. Радиус молекул азота и кислорода $0,18 \text{ нм}$. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| * Примечание : судя по формулировке и предупреждению о неточностях , в пункте (а) скорее всего нужно оценить плотность потока этих атомов на землю, а не просто "плотность" - иначе ответ тривиально равен нулю, ведь по условию $n(0) = 0$ | <b>Пункт а)</b> | ||
| Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а "плотность потока" атомов на землю. | |||
| Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов. | |||
| Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна: | |||
| $$W_1 \approx \frac{1}{2} n_{h+\lambda} \bar{v}_z$$ | |||
| где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx \sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$. | |||
| Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$: | |||
| $$W_2 \approx \frac{1}{2} n_{h-\lambda} \bar{v}_z = \frac{1}{2} \alpha(h - \lambda) \sqrt{\frac{kT}{m}}$$ | |||
| Результирующая плотность потока радиоактивных атомов на Землю — это разность этих двух встречных потоков: | |||
| $$W = W_1 - W_2 \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot \alpha (h + \lambda - (h - \lambda))$$ | |||
| $$W \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot 2\alpha \lambda = \alpha \lambda \sqrt{\frac{kT}{m}}$$ | |||
| <b>Пункт б)</b> | |||
| Оценим коэффициент диффузии $D$ водяного пара в воздухе. В молекулярно-кинетической теории он выражается как: | |||
| $$D = \frac{1}{3} \lambda \bar{v}$$ | |||
| где $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$ — средняя скорость молекулы воды ($\mu = 18 \text{ г/моль}$). | |||
| Длина свободного пробега молекулы воды с учетом относительного движения молекул воздуха вычисляется по формуле: | |||
| $$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma} = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (r_1 + r_2)^2}$$ | |||
| Концентрацию молекул воздуха $n$ при нормальном атмосферном давлении $P \approx 10^5 \text{ Па}$ найдем как $n = \frac{P}{kT}$. | |||
| Тогда итоговая формула: | |||
| $$D = \frac{1}{3} \cdot \frac{kT}{\sqrt{2} P \pi (r_1 + r_2)^2} \cdot \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$$ | |||
| <b>Вычисление:</b> | |||
| Подставим данные: $T = 293 \text{ K}$, $r_1 + r_2 = (0.21 + 0.18) \text{ нм} = 0.39 \cdot 10^{-9} \text{ м}$. | |||
| Средняя скорость $\bar{v} \approx \sqrt{\frac{8 \cdot 8.31 \cdot 293}{3.14 \cdot 0.018}} \approx 587 \text{ м/с}$. | |||
| Концентрация $n \approx \frac{10^5}{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 293} \approx 2.47 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$. | |||
| Длина свободного пробега $\lambda \approx \frac{1}{1.41 \cdot 2.47 \cdot 10^{25} \cdot 3.14 \cdot (0.39 \cdot 10^{-9})^2} \approx 6.0 \cdot 10^{-8} \text{ м}$. | |||
| Считаем коэффициент диффузии: | |||
| $$D \approx \frac{1}{3} \cdot 6.0 \cdot 10^{-8} \cdot 587 \approx 1.17 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2/\text{с}$$ | |||
| Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а. $W = W_1 - W_2 \approx \alpha \lambda \sqrt{kT/m}$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | б. $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$ | ||