Задача 5.3.8

Решение

Пункт а)

Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а плотность потока атомов на землю.

Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов.
Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна:
$$W_1 \approx \frac{1}{2} n_{h+\lambda} \bar{v}_z$$
где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx \sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$.

Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$:
$$W_2 \approx \frac{1}{2} n_{h-\lambda} \bar{v}_z = \frac{1}{2} \alpha(h - \lambda) \sqrt{\frac{kT}{m}}$$

Результирующая плотность потока радиоактивных атомов на Землю — это разность этих двух встречных потоков:
$$W = W_1 - W_2 \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot \alpha (h + \lambda - (h - \lambda))$$
$$W \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \cdot 2\alpha \lambda = \alpha \lambda \sqrt{\frac{kT}{m}}$$

Пункт б)

Оценим коэффициент диффузии $D$ водяного пара в воздухе. В молекулярно-кинетической теории он выражается как:
$$D = \frac{1}{3} \lambda \bar{v}$$
где $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$ — средняя скорость молекулы воды ($\mu = 18 \text{ г/моль}$).

Длина свободного пробега молекулы воды с учетом относительного движения молекул воздуха вычисляется по формуле:
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma} = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (r_1 + r_2)^2}$$
Концентрацию молекул воздуха $n$ при нормальном атмосферном давлении $P \approx 10^5 \text{ Па}$ найдем как $n = \frac{P}{kT}$.
Тогда итоговая формула:
$$D = \frac{1}{3} \cdot \frac{kT}{\sqrt{2} P \pi (r_1 + r_2)^2} \cdot \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$$

Вычисление:
Подставим данные: $T = 293 \text{ K}$, $r_1 + r_2 = (0.21 + 0.18) \text{ нм} = 0.39 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.
Средняя скорость $\bar{v} \approx \sqrt{\frac{8 \cdot 8.31 \cdot 293}{3.14 \cdot 0.018}} \approx 587 \text{ м/с}$.
Концентрация $n \approx \frac{10^5}{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 293} \approx 2.47 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.
Длина свободного пробега $\lambda \approx \frac{1}{1.41 \cdot 2.47 \cdot 10^{25} \cdot 3.14 \cdot (0.39 \cdot 10^{-9})^2} \approx 6.0 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.

Считаем коэффициент диффузии:
$$D \approx \frac{1}{3} \cdot 6.0 \cdot 10^{-8} \cdot 587 \approx 1.17 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2/\text{с}$$
Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$.

Теоретическая справка:
Подробный вывод формулы средней длины свободного пробега, использованной в этом решении, можно найти в учебнике Physics авторов Halliday, Resnick и Krane (HRK), часть 1, глава 22, раздел 22-3 («The mean free path»), стр. 502. Там детально описывается концепция эффективного сечения ($\sigma = \pi d^2$) и связь концентрации с давлением из уравнения состояния идеального газа ($1/n = kT/P$), которые лежат в основе этих молекулярно-кинетических уравнений.