а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: $n = \alpha h$. Масса атома $m$, длина его свободного пробега $\lambda$, а температура $T$. Оцените плотность этих атомов на земле.
б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при $20^\circ\text{C}$. Радиус молекул воды $0,21 \text{ нм}$. Радиус молекул азота и кислорода $0,18 \text{ нм}$.
### Решение
@@ -8,9 +8,9 @@Решение
<b>Пункт а)</b>
−
Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а "плотность потока" атомов на землю.
+
Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а <b>плотность потока</b> атомов на землю.
−
+
Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов.
Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна:
$$W_1 \approx\frac{1}{2} n_{h+\lambda}\bar{v}_z$$
где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx\sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$.
Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$:
Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$.
+
<b>Теоретическая справка:</b>
+
Подробный вывод формулы средней длины свободного пробега, использованной в этом решении, можно найти в учебнике <i>Physics</i> авторов Halliday, Resnick и Krane (HRK), часть 1, глава 22, раздел 22-3 («The mean free path»), стр. 502. Там детально описывается концепция эффективного сечения ($\sigma = \pi d^2$) и связь концентрации с давлением из уравнения состояния идеального газа ($1/n = kT/P$), которые лежат в основе этих молекулярно-кинетических уравнений.
+
#### Ответ
а. $W = W_1 - W_2 \approx\alpha\lambda\sqrt{kT/m}$
б. $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$
−
### Условие
### Условие
$5.3.8.$
$5.3.8.$
а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: $n = \alpha h$. Масса атома $m$, длина его свободного пробега $\lambda$, а температура $T$. Оцените плотность этих атомов на земле.
а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: $n = \alpha h$. Масса атома $m$, длина его свободного пробега $\lambda$, а температура $T$. Оцените плотность этих атомов на земле.
б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при $20^\circ\text{C}$. Радиус молекул воды $0,21 \text{ нм}$. Радиус молекул азота и кислорода $0,18 \text{ нм}$.
б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при $20^\circ\text{C}$. Радиус молекул воды $0,21 \text{ нм}$. Радиус молекул азота и кислорода $0,18 \text{ нм}$.
### Решение
### Решение
@@ -8,9 +8,9 @@Решение
<b>Пункт а)</b>
<b>Пункт а)</b>
Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а "плотность потока" атомов на землю.
Исходя из данных параметров (наличие температуры $m$ и $T$), в задаче требуется оценить не просто концентрацию, а <b>плотность потока</b> атомов на землю.
Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов.
Рассмотрим горизонтальную площадку единичной площади, находящуюся на высоте $h$. Ее пересекают два встречных потока атомов.
Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна:
Атомы, пересекающие площадку сверху вниз, в среднем испытали свое последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$ над ней, то есть на высоте $h + \lambda$. Плотность этого потока направлена вниз и равна:
$$W_1 \approx\frac{1}{2} n_{h+\lambda}\bar{v}_z$$
$$W_1 \approx\frac{1}{2} n_{h+\lambda}\bar{v}_z$$
где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx\sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$.
где $n_{h+\lambda} = \alpha(h + \lambda)$ — концентрация атомов на высоте $(h + \lambda)$, а $\bar{v}_z \approx\sqrt{\frac{kT}{m}}$ — характерная тепловая скорость направленного движения молекул вдоль оси $z$.
Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$:
Аналогично, поток атомов, идущий снизу вверх, формируется частицами, летящими с высоты $h - \lambda$:
Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$.
Переводя в квадратные миллиметры, получаем $D \approx 12 \text{ мм}^2/\text{с}$.
<b>Теоретическая справка:</b>
Подробный вывод формулы средней длины свободного пробега, использованной в этом решении, можно найти в учебнике <i>Physics</i> авторов Halliday, Resnick и Krane (HRK), часть 1, глава 22, раздел 22-3 («The mean free path»), стр. 502. Там детально описывается концепция эффективного сечения ($\sigma = \pi d^2$) и связь концентрации с давлением из уравнения состояния идеального газа ($1/n = kT/P$), которые лежат в основе этих молекулярно-кинетических уравнений.
#### Ответ
#### Ответ
а. $W = W_1 - W_2 \approx\alpha\lambda\sqrt{kT/m}$
а. $W = W_1 - W_2 \approx\alpha\lambda\sqrt{kT/m}$
