Edits to “Условие”, “Решение”, “Про мощность”

igor edited Aug 25, 2026, 9:10 AM

View solution History

revision #20299 parent #20298 ← older

ru/3.9.25.md +76 −4

		@@ -1,11 +1,83 @@
			### Условие

		−	$3.9.25.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.9.25^*.$ Академик И.В. Обреимов так начал объяснение односторонней слышимости: «…Рыболовы терпеть не могут, когда к ним подходят и разговаривают. И они правы. Рыба в воде отлично слышит разговоры на берегу. А мы, на берегу, не слышим «рыбьего разговора». Дело в том, что при переходе из воздуха в воду и из воды в воздух энергия звукового потока…» (Уильям Брэгг. Мир звука. М.: Наука, 1965. $\text{С. 333}$). Продолжите объяснение и подкрепите его количественными оценками, приняв, что человек реагирует на колебания давления начиная примерно с той же амплитуды, что и рыбы.

		+
			### Решение

		−	1

		−	#### ~~Ответ~~
		+	#### Про мощность

		−	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~
		+	Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности падающей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доля эта весьма малая (см. задачу $3.9.7$ про мощность и задачу $3.8.14$ про соотношение амплитуд смещений волн). Вот подробно.
		+
		+	По задаче $3.9.7$ мощность волны одной частоты через интенсивность $I = \dfrac{1}{2}\rho\omega^2A^2cS$:
		+
		+	$$
		+	E = IS,
		+	$$
		+
		+	где $S$ есть площадь, поперечная к скорости распространения волны.
		+
		+	Пусть волна падает из первой среды и проходит во вторую. Найдем отношение мощностей падающей и пройденной на фиксированной $S$:
		+
		+	$$
		+	\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} = \frac{\rho_1A_\text{п}^2c_1}{\rho_2A_\text{пр}^2c_2}.
		+	$$
		+
		+	По задаче $3.8.14$ имеем
		+
		+	$$
		+	\frac{A_\text{п}}{A_\text{пр}} = \frac{\rho_2c_2+\rho_1c_1}{2\rho_1c_1}
		+	$$
		+
		+	(было учтено $с = \sqrt{E/\rho}$; см. задачу $3.6.21$).
		+
		+	Поэтому после упрощений
		+
		+	$$
		+	\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} = \frac{\left(\rho_1c_1+\rho_2c_2\right)^2}{4\rho_1c_1\rho_2c_2}.
		+	$$
		+
		+	Параметры сред входят симметрично, поэтому без разницы, какую среду мы считаем первой, какую — второй. Отношение мощностей падающей и пройденной одно и тоже в оба направления.
		+
		+	Кстати для нашего случая используем $\rho_1c_1\ll\rho_2c_2$ (где первая среда воздух, вторая — вода) и упростим для приближенного вычисления
		+
		+	$$
		+	\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} \approx \frac{\rho_2c_2}{4\rho_1c_1}\gg1,
		+	$$
		+
		+	что говорит о том, что мощность падающей много больше мощности пройденной: $E_\text{п}\gg E_\text{пр}$.
		+
		+
		+	#### Про давление
		+
		+	Иное дело — давление. При отражении звуковой волны в воздухе на границе с водой образуется пучность давления, поэтому в проходящей в воду волне давление почти в два раза больше, чем давление в падающей звуковой волне. (Рассматриваем только нормальное падение волны на границу двух сред; в других случаях качественно картина та же.) Когда же звуковая волна падает на границу раздела из воды, то на этой границе образуется узел давления, и в проходящей в воздух волне давление почти равно нулю. Это приближенное объяснение основано на том, что $\rho c$ для воды и воздуха отличаются во много раз (примерно в $4\cdot10^3$ раз).
		+
		+	Можно точно рассчитать изменение давления.
		+
		+	Найдем отношение амплитуд давлений пройденной и падающей $P_\text{пр}, P_\text{п}$ (для них $\rho_2c_2$ и $\rho_1c_1$ соответственно). С учетом в бегущей $P = \rho cv$ имеем
		+
		+	$$
		+	\frac{P_\text{пр}}{P_\text{п}} = \frac{\rho_2c_2v_\text{пр}}{\rho_1c_1v_\text{п}} = \frac{\rho_2c_2A_\text{пр}}{\rho_1c_1A_\text{п}}
		+	$$
		+
		+	(использован факт равенства отношений амплитуд смещений и скоростей падающей и пройденной из задачи $3.8.14$).
		+
		+	Далее используем ответ задачи $3.8.14$ и после упрощений получаем
		+
		+	$$
		+	\boxed{P_\text{пр} = \frac{2\rho_2c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}P_\text{п}.}
		+	$$
		+
		+	- Если волна падает из воздуха в воду, то по $\rho_1c_1\ll\rho_2c_2$ получаем
		+	$$
		+	P_\text{пр} \approx 2P_\text{п}.
		+	$$
		+
		+	- Если волна падает из воды в воздух, то по $\rho_1c_1\gg\rho_2c_2$ получаем
		+	$$
		+	P_\text{пр} \approx \frac{2\rho_2c_2}{\rho_1c_1}P_\text{п} \approx 0{,}5\cdot10^{-3}P_\text{п}.
		+	$$
		+	То есть уменьшается порядка $10^3$ раз.
		+
		+	Поэтому если человек говорит шепотом над поверхностью воды, то рыба под поверхностью все равно услышит (для рыбы получается превышение порога в 2 раза по минимальному давлению). Если говорит рыба шепотом под поверхностью, то человек получит в пренебрежимо малое приходящее давление.

	@@ -1,11 +1,83 @@
	### Условие		### Условие

	$3.9.25.$ [Вставьте условие задачи]		$3.9.25^*.$ Академик И.В. Обреимов так начал объяснение односторонней слышимости: «…Рыболовы терпеть не могут, когда к ним подходят и разговаривают. И они правы. Рыба в воде отлично слышит разговоры на берегу. А мы, на берегу, не слышим «рыбьего разговора». Дело в том, что при переходе из воздуха в воду и из воды в воздух энергия звукового потока…» (Уильям Брэгг. Мир звука. М.: Наука, 1965. $\text{С. 333}$). Продолжите объяснение и подкрепите его количественными оценками, приняв, что человек реагирует на колебания давления начиная примерно с той же амплитуды, что и рыбы.


	### Решение		### Решение

	1

	#### ~~Ответ~~		#### Про мощность

	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~		Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности падающей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доля эта весьма малая (см. задачу $3.9.7$ про мощность и задачу $3.8.14$ про соотношение амплитуд смещений волн). Вот подробно.

			По задаче $3.9.7$ мощность волны одной частоты через интенсивность $I = \dfrac{1}{2}\rho\omega^2A^2cS$:

			$$
			E = IS,
			$$

			где $S$ есть площадь, поперечная к скорости распространения волны.

			Пусть волна падает из первой среды и проходит во вторую. Найдем отношение мощностей падающей и пройденной на фиксированной $S$:

			$$
			\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} = \frac{\rho_1A_\text{п}^2c_1}{\rho_2A_\text{пр}^2c_2}.
			$$

			По задаче $3.8.14$ имеем

			$$
			\frac{A_\text{п}}{A_\text{пр}} = \frac{\rho_2c_2+\rho_1c_1}{2\rho_1c_1}
			$$

			(было учтено $с = \sqrt{E/\rho}$; см. задачу $3.6.21$).

			Поэтому после упрощений

			$$
			\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} = \frac{\left(\rho_1c_1+\rho_2c_2\right)^2}{4\rho_1c_1\rho_2c_2}.
			$$

			Параметры сред входят симметрично, поэтому без разницы, какую среду мы считаем первой, какую — второй. Отношение мощностей падающей и пройденной одно и тоже в оба направления.

			Кстати для нашего случая используем $\rho_1c_1\ll\rho_2c_2$ (где первая среда воздух, вторая — вода) и упростим для приближенного вычисления

			$$
			\frac{E_\text{п}}{E_\text{пр}} \approx \frac{\rho_2c_2}{4\rho_1c_1}\gg1,
			$$

			что говорит о том, что мощность падающей много больше мощности пройденной: $E_\text{п}\gg E_\text{пр}$.


			#### Про давление

			Иное дело — давление. При отражении звуковой волны в воздухе на границе с водой образуется пучность давления, поэтому в проходящей в воду волне давление почти в два раза больше, чем давление в падающей звуковой волне. (Рассматриваем только нормальное падение волны на границу двух сред; в других случаях качественно картина та же.) Когда же звуковая волна падает на границу раздела из воды, то на этой границе образуется узел давления, и в проходящей в воздух волне давление почти равно нулю. Это приближенное объяснение основано на том, что $\rho c$ для воды и воздуха отличаются во много раз (примерно в $4\cdot10^3$ раз).

			Можно точно рассчитать изменение давления.

			Найдем отношение амплитуд давлений пройденной и падающей $P_\text{пр}, P_\text{п}$ (для них $\rho_2c_2$ и $\rho_1c_1$ соответственно). С учетом в бегущей $P = \rho cv$ имеем

			$$
			\frac{P_\text{пр}}{P_\text{п}} = \frac{\rho_2c_2v_\text{пр}}{\rho_1c_1v_\text{п}} = \frac{\rho_2c_2A_\text{пр}}{\rho_1c_1A_\text{п}}
			$$

			(использован факт равенства отношений амплитуд смещений и скоростей падающей и пройденной из задачи $3.8.14$).

			Далее используем ответ задачи $3.8.14$ и после упрощений получаем

			$$
			\boxed{P_\text{пр} = \frac{2\rho_2c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}P_\text{п}.}
			$$

			- Если волна падает из воздуха в воду, то по $\rho_1c_1\ll\rho_2c_2$ получаем
			$$
			P_\text{пр} \approx 2P_\text{п}.
			$$

			- Если волна падает из воды в воздух, то по $\rho_1c_1\gg\rho_2c_2$ получаем
			$$
			P_\text{пр} \approx \frac{2\rho_2c_2}{\rho_1c_1}P_\text{п} \approx 0{,}5\cdot10^{-3}P_\text{п}.
			$$
			То есть уменьшается порядка $10^3$ раз.

			Поэтому если человек говорит шепотом над поверхностью воды, то рыба под поверхностью все равно услышит (для рыбы получается превышение порога в 2 раза по минимальному давлению). Если говорит рыба шепотом под поверхностью, то человек получит в пренебрежимо малое приходящее давление.