3.9.21. С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
Решение
1. Скорость поперечной волны в струне
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
2. Условие образования стоячей волны
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$
3. Связь частоты, длины волны и скорости
По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: $$v = \lambda \nu$$ Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: $$v = 2l\nu$$
4. Вывод итоговой формулы
Приравняем два выражения для скорости волны: $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ $$F = 4\mu l^2\nu^2$$
Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой $t$ = 0 плотность $ρ$ и давление $p0$. В момент времени $t$ = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью $U'$, сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью $U$. Будем считать, что $U$>>$U'$. За время t передний форнт сжатия проходит $U*t$, а задний фронт $U'*t$. Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличения плотности и соответственно давления. po=pM/RT. Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости $v^{\prime }$, его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления $\Delta P$. Пусть давление в области сжатия $p+\Delta P$ на $\Delta P$ больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить ($p0+\Delta P$) $*S$.
Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде ($p0+\Delta P$) $*S$ - $p0*S$ = $\Delta P$$*S$ То есть $\Delta P$$*S$$*t$ = $ρ*S*U'*t*U'$, поршень сообщает массе жидкости $ρ*S*U'*t$ скорость $U'$ Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью $U'$. Следовательно $\Delta P$$=ρUU'$. Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В $B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'/ \Delta V / V0$
Скорость $v$ (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень.
Скорость $v^{\prime }$ (среда) — это скорость вещества. Она показывает, с какой скоростью физически двигаются сами молекулы (вслед за поршнем), когда до них уже дошел сигнал. Это скорость самих частиц внутри волны. $B=ρU^2$ и $U$ = $\sqrt B/ \sqrt ρ$.
