| @@ -1,15 +1,41 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $4.2.25.$ Цилиндрический сосуд радиуса R, заполненный жидкостью плотности ρ, вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. В сосуде находится шарик радиуса r и плотности 2ρ. Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда. |
| | + | $4.2.25^*.$ Цилиндрический сосуд радиуса $R$, заполненный жидкостью плотности $\rho$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. В сосуде находится шарик радиуса $r$ и плотности $2\rho$. Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда. |
| | | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − |  |
| | + |  |
| | | |
| | − | Нормальная реакция связи (N) в отсутствие воды будет обусловлена возникновением нормального (центростремительного) ускорения при вращении цилиндра и сопутствующей силой инерции. N = ma(ц. с.) = 2p*4/3πr^3*ω^2(R-r). При помещении в сосуд с жидкостью, вместе с силой инерции будет действовать сила Архимеда. N = ma(ц.с.) = (2p-p)*4/3πr^3*ω^2(R-r)=4/3πr^3*ω^2(R-r)p. |
| | + | <b>1. Параметры шарика</b> |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | Объем шарика равен $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. |
| | + | Так как плотность шарика равна $2\rho$, его масса составляет: |
| | + | $$m = 2\rho V$$ |
| | | |
| | − | N = 4/3πr^3*ω^2(R-r)p. |
| | + | <b>2. Уравнение движения по горизонтали</b> |
| | | |
| | + | Шарик вращается вместе с сосудом по окружности. Расстояние от оси вращения до центра шарика равно $(R - r)$. Следовательно, его центростремительное ускорение равно: |
| | + | $$a_{\text{ц.с.}} = \omega^2(R - r)$$ |
| | | |
| | + | По второму закону Ньютона в горизонтальной плоскости на шарик действуют две силы, обеспечивающие это центростремительное ускорение: нормальная реакция опоры от боковой стенки $N$ (направлена к центру) и <b>горизонтальная сила Архимеда</b> $F_{Ax}$ (также направлена к оси вращения, так как градиент давления во вращающейся жидкости выталкивает менее плотные тела к центру). |
| | + | Запишем уравнение движения: |
| | + | $$N + F_{Ax} = m a_{\text{ц.с.}} = m \omega^2(R - r)$$ |
| | + | |
| | + | <b>3. Горизонтальная сила Архимеда</b> |
| | + | |
| | + | Горизонтальная выталкивающая сила равна произведению массы вытесненной жидкости на центростремительное ускорение этого объема жидкости: |
| | + | $$F_{Ax} = m_{\text{ж}} a_{\text{ц.с.}} = (\rho V) \omega^2(R - r)$$ |
| | + | |
| | + | <b>4. Итоговый расчет</b> |
| | + | |
| | + | Подставим выражения для массы шарика и силы Архимеда во второй закон Ньютона: |
| | + | $$N + \rho V \omega^2(R - r) = 2\rho V \omega^2(R - r)$$ |
| | + | |
| | + | Отсюда выражаем искомую силу реакции опоры $N$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю силе, с которой шарик давит на стенку): |
| | + | $$N = 2\rho V \omega^2(R - r) - \rho V \omega^2(R - r) = \rho V \omega^2(R - r)$$ |
| | + | |
| | + | Подставляя выражение для объема шарика $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, получаем окончательный ответ: |
| | + | $$N = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \omega^2 (R - r)$$ |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | $$F = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \omega^2 (R - r)$$ |
