Решение

1. Параметры шарика

Объем шарика равен $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Так как плотность шарика равна $2\rho$, его масса составляет:
$$m = 2\rho V$$

2. Уравнение движения по горизонтали

Шарик вращается вместе с сосудом по окружности. Расстояние от оси вращения до центра шарика равно $(R - r)$. Следовательно, его центростремительное ускорение равно:
$$a_{\text{ц.с.}} = \omega^2(R - r)$$

По второму закону Ньютона в горизонтальной плоскости на шарик действуют две силы, обеспечивающие это центростремительное ускорение: нормальная реакция опоры от боковой стенки $N$ (направлена к центру) и горизонтальная сила Архимеда $F_{Ax}$ (также направлена к оси вращения, так как градиент давления во вращающейся жидкости выталкивает менее плотные тела к центру).
Запишем уравнение движения:
$$N + F_{Ax} = m a_{\text{ц.с.}} = m \omega^2(R - r)$$

3. Горизонтальная сила Архимеда

Горизонтальная выталкивающая сила равна произведению массы вытесненной жидкости на центростремительное ускорение этого объема жидкости:
$$F_{Ax} = m_{\text{ж}} a_{\text{ц.с.}} = (\rho V) \omega^2(R - r)$$

4. Итоговый расчет

Подставим выражения для массы шарика и силы Архимеда во второй закон Ньютона:
$$N + \rho V \omega^2(R - r) = 2\rho V \omega^2(R - r)$$

Отсюда выражаем искомую силу реакции опоры $N$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю силе, с которой шарик давит на стенку):
$$N = 2\rho V \omega^2(R - r) - \rho V \omega^2(R - r) = \rho V \omega^2(R - r)$$

Подставляя выражение для объема шарика $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, получаем окончательный ответ:
$$N = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \omega^2 (R - r)$$