Edits to “Решение”, “Ответ”

Valter edited
View solution History
revision #20372 parent #11975 ← older
ru/11.1.9.md +28 −73
@@ -8,84 +8,39 @@Решение:
![Квадратный виток проволоки движущийся через магнитное поле $ \vec{B} $|1651x1019, 50%](../../img/11.1.9/Picture3.svg)
−__Случай, когда $a>b$__
+<b>1. Общие закономерности</b>
+Длина всего провода квадратного контура равна $4b$. Следовательно, полное сопротивление витка:
+$$R = 4b\rho$$
−Магнитный поток, проходящий через площадь пересечения $S(t)$, зависяющую от времени $t$
+При пересечении любой из сторон рамки границы магнитного поля (когда одна сторона внутри поля, а противоположная — снаружи) магнитный поток через рамку изменяется. В контуре возникает ЭДС индукции:
+$$\varepsilon = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = Bbv$$
−$$
−\Phi(t) = B \cdot S(t) = Bbvt
−$$
+По закону Ома возникающий индукционный ток течет по <i>всему</i> замкнутому контуру:
+$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Bbv}{4b\rho} = \frac{Bv}{4\rho}$$
−Изменения магнитного потока за единицу времени
+Тепловая мощность, выделяющаяся во <i>всей</i> рамке во время изменения потока, равна:
+$$P = I^2 R = \left(\frac{Bv}{4\rho}\right)^2 \cdot 4b\rho = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho}$$
−$$
−\frac{d\Phi}{dt} = Bbv
−$$
+<b>2. Случай $a > b$ (зазор шире рамки)</b>
+Магнитный поток меняется, а ток течет только на двух этапах движения:
+1. <b>Вход в поле:</b> передняя сторона рамки заходит в зазор. Это длится до тех пор, пока рамка не зайдет в поле целиком. Время этого этапа $t_1 = \frac{b}{v}$.
+2. <b>Выход из поля:</b> передняя сторона покидает зазор, а задняя еще находится внутри. Время этого этапа $t_2 = \frac{b}{v}$.
−Возникающая ЭДС самоиндукции
+Во время движения рамки полностью внутри поля магнитный поток постоянен, тока нет, тепло не выделяется.
+Общее время выделения тепла $t = t_1 + t_2 = \frac{2b}{v}$.
+Суммарная выделившаяся энергия:
+$$W_1 = P \cdot t = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho} \cdot \frac{2b}{v} = \frac{B^2 v b^2}{2\rho}$$
−$$
−\varepsilon_i = \left |- \frac{d\Phi}{dt} \right | = Bbv
−$$
+<b>3. Случай $a < b$ (зазор уже рамки)</b>
+Здесь этапы выделения тепла другие:
+1. <b>Проход передней стороны:</b> передняя сторона рамки проходит через зазор от начала до конца. Время этапа $t_1 = \frac{a}{v}$.
+2. <b>Проход задней стороны:</b> задняя сторона рамки проходит через зазор. Время этапа $t_2 = \frac{a}{v}$.
−Из закона Ома, возникающая сила тока составляет
+Когда зазор находится между передней и задней сторонами (обе вертикальные стороны вне поля), поток через рамку постоянен и равен $Bab$. Тока в этот момент нет.
+Общее время выделения тепла $t = t_1 + t_2 = \frac{2a}{v}$.
+Суммарная выделившаяся энергия:
+$$W_2 = P \cdot t = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho} \cdot \frac{2a}{v} = \frac{B^2 v a b}{2\rho}$$
−$$
−I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bbv}{R} = \frac{Bv}{4\rho}
−$$
−
−При этом энергия выделяющаяся на проводе длинной $b$
−
−$$
−Q_0 = I^2Rt = \frac{B^2vb^2}{4\rho}{,}\quad t=\frac{b}{v}
−$$
−
−Учитывая, что энергия выделяется, только провода, перпендикулярные к направлению вектора скорости $\vec{v}$ и будет выделяться на данных двух проводах
−
−$$
−Q_1 = 2Q_0 = \frac{B^2vb^2}{2\rho}
−$$
−
−__Случай, когда $a<b$__
−
−Магнитный поток, проходящий через площадь пересечения $S(t)$, зависяющую от времени $t$
−
−$$
−\Phi(t) = B \cdot S(t) = Bbvt
−$$
−
−Изменения магнитного потока за единицу времени
−
−$$
−\frac{d\Phi}{dt} = Bbv
−$$
−
−Возникающая ЭДС самоиндукции
−
−$$
−\varepsilon_i = \left |- \frac{d\Phi}{dt} \right | = Bbv
−$$
−
−Из закона Ома, возникающая сила тока составляет
−
−$$
−I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bbv}{R} = \frac{Bv}{4\rho}
−$$
−
−При этом энергия выделяющаяся на проводе длинной $b$
−
−$$
−Q_0 = I^2Rt = \frac{B^2vab}{4\rho}{,}\quad t=\frac{a}{v}
−$$
−
−Учитывая, что энергия выделяется, только провода, перпендикулярные к направлению вектора скорости $\vec{v}$ и будет выделяться на данных двух проводах
−
−$$
−Q_2 = 2Q_0 = \frac{B^2vab}{2\rho}
−$$
−
−#### Ответ:
−
−$$
−W=B^{2}vab/(2\rho),a<b;\quad W=B^{2}vb^{2}/(2\rho),a>b
−$$
+#### Ответ
+$$W = \frac{B^2 v b^2}{2\rho} \text{ при } a > b$$
+$$W = \frac{B^2 v a b}{2\rho} \text{ при } a < b$$