Решение

Стержни обозначим $1, 2$. Пусть стержни ненапряяженные вначале и сталкиваются с соответствующими скоростями $v_1, v_2$. Скорости далее как проекции считаются.

По способу решения задачи $3.8.11$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v_1/2$ или $v_2/2$ в соответствующем направлении.

Механизм

Из решений стандартных задач подобных можем угадать, что разлет удовлетворяющий условию будет также у стержней при ненапряженном состоянии. Простейший способ получить отсутствие деформации в стержнях такой.

После касания частичные волны стержней переходят с изменением в соседний стержень и отражаются обратно с изменением в тот же стержень, так как среды разные.

С учетом этого ненапряженное состояние появится точно через время

$$\frac{2l_1}{c_1} = \frac{2l_2}{c_2},$$

когда все частичные волны каждого стержня полностью пройдут в соседний и отразятся от границы (придется додуматься и читать теорию).

Сразу после этого в стержнях будут волны скорости, дающие скорость стержней, которые находятся сложением находящихся в них частичных бегущий волн:

$$\boxed{V_2 = \underset{1\to2}{k_\text{пр}}v_1 + \underset{2\to1}{k_\text{от}}v_2}\tag{1}$$

и

$$\boxed{V_1 = \underset{2\to1}{k_\text{пр}}v_2 + \underset{1\to2}{k_\text{от}}v_1}\tag{2}$$

где

• $\underset{i\to n}{k_\text{пр}}$ есть коэффициент прохождения волны по скорости, показывающий как меняется скорость частичной бегущей волны при прохождении через границу в направлении из $i$ в $n$,

• $\underset{i\to n}{k_\text{от}}$ есть коэффициент отражения волны по скорости, показывающий как меняется скорость частичной бегущей волны при отражении от границы при падении в направлении из $i$ в $n$.

Эти коэффициенты введены для того, чтобы иметь дело с рассмотрением только волн скорости, так проще.

Теперь эти коэффициенты надо найти.

Коэффиценты

Пусть волна прямоугольная бегущая скорости $v_\text{п}$ частиц падает на границу раздела двух сред $1,2$ плотностей и скоростей звука $\rho_1, с_1$ и $\rho_2, c_2$ из среды $1$ в $2$.

Войдя полностью в границу эта падающая дает две волны бегущие: отраженную и пройденную со скоростями частиц $v_\text{о}$ и $v_\text{пр}$.

Пусть ширина падающей $l_1$, сечение сред $S$ одинаково. Запишем закон сохранения энергии

$$\rho_1v_\text{п}^2l_1S = \rho_1v_\text{о}^2l_1S + \rho_2v_\text{пр}^2l_2S$$

где $l_2 = c_2\tau$ (тут $\tau = l_1/c_1$ есть время вхождения падающей в границу).

Закон сохранения импульса:

$$\rho_1l_1Sv_\text{п} = \rho_1l_1Sv_\text{о} + \rho_2l_2Sv_\text{пр}.$$

Из предыдущих двух

• коэффициент прохождения по скорости
  $$\underset{1\to 2}{k_\text{пр}} = \frac{v_\text{пр}}{v_\text{п}} = \frac{2\rho_1c_1}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}$$
  или через массы короче
  $$\boxed{\underset{1\to 2}{k_\text{пр}} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}.}$$

• коэффициент отражения по скорости
  $$\underset{1\to 2}{k_\text{от}} = \frac{v_\text{о}}{v_\text{п}} = \frac{\rho_1c_1 - \rho_2c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}$$
  или через массы короче
  $$\boxed{\underset{1\to 2}{k_\text{от}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}.}$$

Это из среды $\boldsymbol{1}$ в $\boldsymbol{2}$. Если падающая идет из среды $2$ в $1$, то индексы меняются $1\leftrightarrow2$.

Итог

В задачах динамики без потери на волны внутри тел получаются такие результаты для столкновения лобового и упругого. В тех же терминах тел $1, 2$ при начальных $v_1, v_2$ их скорости после соударения получаются по образу формул $(1), (2)$:

$$u_1 = \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$$

и

$$u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2.$$

C учетом выражений для коэффициентов эти две скорости совпали со скоростями соответствующими $(1), (2)$. Значит, стержни будут разлетаться как в простой динамике.

Дополнение

После касания скорости в частиц в стержнях в зонах вблизи границы раздела находятся через сложение (суперпозицию) частичных бегущих: начальная, отраженная и пройденная. Вот скорость в зоне первого стержня

$$v_1' = \frac{v_1}{2} + \underset{1\to 2}{k_\text{от}}\frac{v_1}{2} + \underset{2\to 1}{k_\text{пр}}\frac{v_2}{2},$$

что дает скорость центра масс сталкивающихся стержней.

В зоне второго скорость такая же. Значит, стержни не отрываются, пока не придут в то ненапряженное состояние по формулам $(1), (2)$, которое мы угадали.