Решение

Стержни обозначим $1$ и $2$. Пусть стержни ненапряженные вначале и сталкиваются с соответствующими скоростями $v_1, v_2$. Скорости далее рассматриваются как проекции.

По способу решения задачи $3.8.11$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v_1/2$ или $v_2/2$ в соответствующем направлении.

Механизм

Из решений подобных стандартных задач можем угадать, что разлет, удовлетворяющий условию, будет также у стержней при ненапряженном состоянии. Простейший способ получить отсутствие деформации в стержнях такой.

После касания частичные волны стержней переходят с изменением в соседний стержень и отражаются обратно с изменением в тот же стержень, так как среды разные.

С учетом этого ненапряженное состояние появится точно через время
$$\frac{2l_1}{c_1} = \frac{2l_2}{c_2},$$
когда все частичные волны каждого стержня полностью пройдут в соседний и отразятся от границы (придется додуматься и читать теорию).

Сразу после этого в стержнях будут волны скорости, дающие общую скорость стержней, которые находятся сложением находящихся в них частичных бегущих волн:
$$\boxed{V_2 = \underset{1\to2}{k_{\text{пр}}}v_1 + \underset{2\to1}{k_{\text{от}}}v_2}\tag{1}$$
и
$$\boxed{V_1 = \underset{2\to1}{k_{\text{пр}}}v_2 + \underset{1\to2}{k_{\text{от}}}v_1}\tag{2}$$

где

• $\underset{i\to n}{k_{\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения волны по скорости, показывающий, как меняется скорость частичной бегущей волны при прохождении через границу в направлении из среды $i$ в среду $n$.
• $\underset{i\to n}{k_{\text{от}}}$ есть коэффициент отражения волны по скорости, показывающий, как меняется скорость частичной бегущей волны при отражении от границы при падении в направлении из $i$ в $n$.

Эти коэффициенты введены для того, чтобы иметь дело с рассмотрением только волн скорости, так проще.

Теперь эти коэффициенты надо найти.

Коэффициенты

Пусть прямоугольная бегущая волна скорости $v_{\text{п}}$ частиц падает на границу раздела двух сред $1$ и $2$ с плотностями и скоростями звука $\rho_1, c_1$ и $\rho_2, c_2$ из среды $1$ в $2$.

Войдя полностью в границу, эта падающая волна дает две бегущие волны: отраженную и пройденную со скоростями частиц $v_{\text{о}}$ и $v_{\text{пр}}$.

Пусть ширина падающей волны $l_1$, сечение сред $S$ одинаково. Запишем закон сохранения энергии:
$$\rho_1v_{\text{п}}^2 l_1 S = \rho_1v_{\text{о}}^2 l_1 S + \rho_2v_{\text{пр}}^2 l_2 S$$
где $l_2 = c_2\tau$ (здесь $\tau = l_1/c_1$ есть время вхождения падающей волны в границу).

Закон сохранения импульса:
$$\rho_1 l_1 S v_{\text{п}} = \rho_1 l_1 S v_{\text{о}} + \rho_2 l_2 S v_{\text{пр}}$$

Из предыдущих двух уравнений получаем:

• Коэффициент прохождения по скорости:
  $$\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{v_{\text{пр}}}{v_{\text{п}}} = \frac{2\rho_1c_1}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}$$
  или через массы короче:
  $$\boxed{\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}}$$

• Коэффициент отражения по скорости:
  $$\underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{v_{\text{о}}}{v_{\text{п}}} = \frac{\rho_1c_1 - \rho_2c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2}$$
  или через массы короче:
  $$\boxed{\underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}}$$

Это из среды $1$ в $2$. Если падающая волна идет из среды $2$ в $1$, то индексы меняются: $1\leftrightarrow 2$.

Итог

В задачах динамики без потери энергии на волны внутри тел получаются такие результаты для столкновения лобового и упругого. В тех же терминах для тел $1$ и $2$ при начальных скоростях $v_1, v_2$ их скорости после соударения получаются по образу формул (1) и (2):
$$u_1 = \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$$
и
$$u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2$$

С учетом выражений для коэффициентов эти две скорости совпали со скоростями, соответствующими уравнениям (1) и (2). Значит, стержни будут разлетаться, как в простой динамике.

Дополнение

После касания скорости частиц в стержнях в зонах вблизи границы раздела находятся через сложение (суперпозицию) частичных бегущих волн: начальная, отраженная и пройденная. Вот скорость в зоне первого стержня:
$$v_1' = \frac{v_1}{2} + \underset{1\to 2}{k_{\text{от}}}\frac{v_1}{2} + \underset{2\to 1}{k_{\text{пр}}}\frac{v_2}{2},$$
что дает скорость центра масс сталкивающихся стержней.

В зоне второго стержня скорость такая же. Значит, стержни не отрываются, пока не придут в то ненапряженное состояние по формулам (1) и (2), которое мы угадали.