Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

radaryv edited Sep 8, 2026, 11:40 AM

View solution History

revision #20615 parent #20614 ← older newer →

ru/14.4.4.md +14 −55

		@@ -1,30 +1,23 @@
			### Условие

		−	$14.4.4.$ ~~[Вставьте условие задачи]~~
		−
		−	### Решение
		−
		−
		−	\noindent\textbf{14.4.4.} Во сколько раз изменится время движения электрона
		+	$14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона
			в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со
			скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в
			случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?

		−	\begin{center}
		−	~~\textbf{~~Решение}
		−	\end{center}
		+	### Решение

		−	Пусть $K'$ --- система отсчёта конденсатора, а $K$ --- лабораторная система.
		+	Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система.
			Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось
		−	$y'$ --- вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$
		+	$y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$
			и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через
			$t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за
			время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим
		−	скорость света, через $m_e$ --- массу покоя электрона, через $e$ --- модуль его
		−	заряда, а через $E$ --- модуль напряжённости поля конденсатора.
		+	скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его
		+	заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.

			Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля
		−	$eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ --- множитель
		+	$eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель
			Лоренца, соответствующий скорости $v$:
			\[
			eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,
			\qquad
			\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
			\]
			Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$,
			поэтому
			\[
			eE\tau=\gamma_vm_ev.
			\]
			Разделив первое равенство на второе, получим
			\[
			d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right).
			\]

			Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих
			случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его
		@@ -46,38 +39,8 @@Решение
			попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
			в системе $K'$.

		−	\begin{center}
		−	\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=Latex,font=\small]
		−	% Case a
		−	\begin{scope}[shift={(0,0)}]
		−	\draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35);
		−	\draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35);
		−	\fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$};
		−	\fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$};
		−	\draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$};
		−	\draw[very thick,blue!70!black,->] (0,-1.75)--(2.0,-1.75)
		−	node[midway,below] {$u$};
		−	\node at (1.5,1.75) {а)};
		−	\node[below] at (1.5,-2.25) {$u\perp$ пластинам};
		−	\end{scope}
		+	![К задаче $14.4.4$\|822x352, 70%](../../img/14.4.4/2026-09-08_14-36-39.png)

		−	% Case b
		−	\begin{scope}[shift={(7.2,0)}]
		−	\draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35);
		−	\draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35);
		−	\fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$};
		−	\fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$};
		−	\draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$};
		−	\draw[very thick,blue!70!black,->] (1.5,-1.15)--(1.5,0.65)
		−	node[right=3pt] {$u$};
		−	\node at (1.5,1.75) {б)};
		−	\node[below] at (1.5,-2.25) {$u\parallel$ пластинам};
		−	\end{scope}
		−	\end{tikzpicture}
		−
		−	\textit{Расчётный чертёж}
		−	\end{center}
		−
			Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
			\[
			\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
			\]
			Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со
			скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в
			лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же
			событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль
			направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда
			преобразования Лоренца дают
			\[
			\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'
		@@ -93,7 +56,8 @@Решение
			+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).
			\]

		−	~~\textbf{~~а) Конденсатор движется поперек пластин.}
		+	а) Конденсатор движется поперек пластин.
		+
			Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения
			электрона. Поэтому между событиями
			испускания и попадания электрона на вторую пластину
			$\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
			Следовательно, лабораторное время движения
			$t_a$ равно
			\[
			t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)
			=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
			\left[1+\frac{u}{v}
			\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].
			\]
			Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
			$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
			$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость
			$v_a$ электрона в системе $K$:
			\[
		@@ -114,7 +78,7 @@Решение
			v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.
			\]

		−	~~\textbf{~~б) Конденсатор движется параллельно пластинам.}
		+	б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
			Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий
			изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время
			движения $t_b$ равно
			\[
			t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
			\]
			Из преобразований
			$y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на
			второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
			\[
			v_x=\frac{v}{\gamma_u},
			\qquad
			v_y=u.
			\]
			Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
			\[
			v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
		@@ -135,8 +99,8 @@Решение
			=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.
			\]

		−	\par\medskip
		−	~~\noindent\textbf{Ответ:}~~ а) время увеличится в
		+	#### Ответ
		+	а) время увеличится в
			\[
			\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
			\left[1+\frac{u}{v}
			\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}
			\]
			раза, а
			\[
			\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};
			\]
			б) время увеличится в
			\[
			\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}
			\]
			раза, а
			\[
		@@ -155,11 +119,6 @@Ответ
			\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.
			\]

		−	~~\noindent\warningmark\;~~ В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под
		+	В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под
			переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ
			соответствует направлениям движения, указанным в условии.
		−
		−
		−	#### Ответ
		−
		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	@@ -1,30 +1,23 @@
	### Условие		### Условие

	$14.4.4.$ ~~[Вставьте условие задачи]~~		$14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона

	### Решение


	\noindent\textbf{14.4.4.} Во сколько раз изменится время движения электрона
	в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со		в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со
	скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в		скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в
	случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?		случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?

	\begin{center}		### Решение
	~~\textbf{~~Решение}
	\end{center}

	Пусть $K'$ --- система отсчёта конденсатора, а $K$ --- лабораторная система.		Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система.
	Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось		Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось
	$y'$ --- вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$		$y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$
	и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через		и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через
	$t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за		$t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за
	время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим		время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим
	скорость света, через $m_e$ --- массу покоя электрона, через $e$ --- модуль его		скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его
	заряда, а через $E$ --- модуль напряжённости поля конденсатора.		заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.

	Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля		Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля
	$eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ --- множитель		$eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель
	Лоренца, соответствующий скорости $v$:		Лоренца, соответствующий скорости $v$:
	\[		\[
	eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,		eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,
	\qquad		\qquad
	\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.		\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
	\]		\]
	Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$,		Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$,
	поэтому		поэтому
	\[		\[
	eE\tau=\gamma_vm_ev.		eE\tau=\gamma_vm_ev.
	\]		\]
	Разделив первое равенство на второе, получим		Разделив первое равенство на второе, получим
	\[		\[
	d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right).		d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right).
	\]		\]

	Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих		Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих
	случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его		случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его
	@@ -46,38 +39,8 @@Решение
	попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона		попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
	в системе $K'$.		в системе $K'$.

	\begin{center}		![К задаче $14.4.4$\|822x352, 70%](../../img/14.4.4/2026-09-08_14-36-39.png)
	\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=Latex,font=\small]
	% Case a
	\begin{scope}[shift={(0,0)}]
	\draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35);
	\draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35);
	\fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$};
	\fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$};
	\draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$};
	\draw[very thick,blue!70!black,->] (0,-1.75)--(2.0,-1.75)
	node[midway,below] {$u$};
	\node at (1.5,1.75) {а)};
	\node[below] at (1.5,-2.25) {$u\perp$ пластинам};
	\end{scope}

	% Case b
	\begin{scope}[shift={(7.2,0)}]
	\draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35);
	\draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35);
	\fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$};
	\fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$};
	\draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$};
	\draw[very thick,blue!70!black,->] (1.5,-1.15)--(1.5,0.65)
	node[right=3pt] {$u$};
	\node at (1.5,1.75) {б)};
	\node[below] at (1.5,-2.25) {$u\parallel$ пластинам};
	\end{scope}
	\end{tikzpicture}

	\textit{Расчётный чертёж}
	\end{center}

	Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:		Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
	\[		\[
	\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.		\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
	\]		\]
	Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со		Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со
	скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в		скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в
	лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же		лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же
	событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль		событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль
	направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда		направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда
	преобразования Лоренца дают		преобразования Лоренца дают
	\[		\[
	\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'		\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'
	@@ -93,7 +56,8 @@Решение
	+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).		+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).
	\]		\]

	~~\textbf{~~а) Конденсатор движется поперек пластин.}		а) Конденсатор движется поперек пластин.

	Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения		Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения
	электрона. Поэтому между событиями		электрона. Поэтому между событиями
	испускания и попадания электрона на вторую пластину		испускания и попадания электрона на вторую пластину
	$\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.		$\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
	Следовательно, лабораторное время движения		Следовательно, лабораторное время движения
	$t_a$ равно		$t_a$ равно
	\[		\[
	t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)		t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)
	=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}		=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
	\left[1+\frac{u}{v}		\left[1+\frac{u}{v}
	\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].		\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].
	\]		\]
	Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования		Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
	$x=\gamma_u(x'+ut')$ и		$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
	$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость		$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость
	$v_a$ электрона в системе $K$:		$v_a$ электрона в системе $K$:
	\[		\[
	@@ -114,7 +78,7 @@Решение
	v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.		v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.
	\]		\]

	~~\textbf{~~б) Конденсатор движется параллельно пластинам.}		б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
	Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий		Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий
	изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время		изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время
	движения $t_b$ равно		движения $t_b$ равно
	\[		\[
	t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.		t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
	\]		\]
	Из преобразований		Из преобразований
	$y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на		$y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на
	второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны		второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
	\[		\[
	v_x=\frac{v}{\gamma_u},		v_x=\frac{v}{\gamma_u},
	\qquad		\qquad
	v_y=u.		v_y=u.
	\]		\]
	Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен		Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
	\[		\[
	v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}		v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
	@@ -135,8 +99,8 @@Решение
	=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.		=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.
	\]		\]

	\par\medskip		#### Ответ
	~~\noindent\textbf{Ответ:}~~ а) время увеличится в		а) время увеличится в
	\[		\[
	\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}		\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
	\left[1+\frac{u}{v}		\left[1+\frac{u}{v}
	\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}		\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}
	\]		\]
	раза, а		раза, а
	\[		\[
	\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};		\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};
	\]		\]
	б) время увеличится в		б) время увеличится в
	\[		\[
	\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}		\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}
	\]		\]
	раза, а		раза, а
	\[		\[
	@@ -155,11 +119,6 @@Ответ
	\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.		\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.
	\]		\]

	~~\noindent\warningmark\;~~ В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под		В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под
	переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ		переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ
	соответствует направлениям движения, указанным в условии.		соответствует направлениям движения, указанным в условии.


	#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]