Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/14.4.4.md
+13 −43
| @@ -1,93 +1,65 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона | ||
| − | в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со | ||
| − | скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в | ||
| − | случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | ||
| + | $14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | ||
| ### Решение | |||
| − | Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. | ||
| − | Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось | ||
| − | $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ | ||
| − | и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через | ||
| − | $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за | ||
| − | время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим | ||
| − | скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его | ||
| − | заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора. | ||
| + | Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора. | ||
| − | Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля | ||
| − | $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель | ||
| − | Лоренца, соответствующий скорости $v$: | ||
| + | Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$: | ||
| \[ | |||
| eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, | |||
| \qquad | |||
| \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| − | Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, | ||
| − | поэтому | ||
| + | Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому | ||
| \[ | |||
| eE\tau=\gamma_vm_ev. | |||
| \] | |||
| Разделив первое равенство на второе, получим | |||
| \[ | |||
| d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right). | |||
| \] | |||
| − | Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих | ||
| − | случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его | ||
| − | попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | ||
| + | Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | ||
| в системе $K'$. | |||
|  | |||
| Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$: | |||
| \[ | |||
| \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| − | Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со | ||
| − | скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в | ||
| − | лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же | ||
| − | событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль | ||
| − | направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда | ||
| − | преобразования Лоренца дают | ||
| + | Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают | ||
| \[ | |||
| \Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' | |||
| +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right). | |||
| \] | |||
| а) Конденсатор движется поперек пластин. | |||
| − | Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения | ||
| − | электрона. Поэтому между событиями | ||
| − | испускания и попадания электрона на вторую пластину | ||
| − | |||
| − | Следовательно, лабораторное время движения | ||
| − | $t_a$ равно | ||
| + | Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями | ||
| + | испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$. | ||
| + | Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно | ||
| \[ | |||
| t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) | |||
| =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | |||
| \left[1+\frac{u}{v} | |||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]. | |||
| \] | |||
| Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования | |||
| $x=\gamma_u(x'+ut')$ и | |||
| − | $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость | ||
| − | $v_a$ электрона в системе $K$: | ||
| + | $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$: | ||
| \[ | |||
| v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}. | |||
| \] | |||
| **б) Конденсатор движется параллельно пластинам.** | |||
| − | Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий | ||
| − | изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время | ||
| − | движения $t_b$ равно | ||
| + | Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно | ||
| \[ | |||
| t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| − | Из преобразований | ||
| − | $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на | ||
| − | второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | ||
| + | Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | ||
| \[ | |||
| v_x=\frac{v}{\gamma_u}, | |||
| \qquad | |||
| v_y=u. | |||
| \] | |||
| Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен | |||
| \[ | |||
| v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} | |||
| =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. | |||
| \] | |||
| #### Ответ | |||
| а) время увеличится в | |||
| \[ | |||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | |||
| \left[1+\frac{u}{v} | |||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]} | |||
| \] | |||
| раза, а | |||
| \[ | |||
| \boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}}; | |||
| \] | |||
| б) время увеличится в | |||
| \[ | |||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} | |||
| \] | |||
| раза, а | |||
| \[ | |||
| @@ -119,6 +91,4 @@Ответ | |||
| \boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}. | |||
| \] | |||
| − | В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под | ||
| − | переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ | ||
| − | соответствует направлениям движения, указанным в условии. | ||
| + | В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ соответствует направлениям движения, указанным в условии. | ||
| @@ -1,93 +1,65 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона | $14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | ||
| в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со | |||
| скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в | |||
| случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. | Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора. | ||
| Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось | |||
| $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ | |||
| и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через | |||
| $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за | |||
| время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим | |||
| скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его | |||
| заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора. | |||
| Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля | Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$: | ||
| $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель | |||
| Лоренца, соответствующий скорости $v$: | |||
| \[ | \[ | ||
| eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, | eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, | ||
| \qquad | \qquad | ||
| \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. | \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. | ||
| \] | \] | ||
| Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, | Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому | ||
| поэтому | |||
| \[ | \[ | ||
| eE\tau=\gamma_vm_ev. | eE\tau=\gamma_vm_ev. | ||
| \] | \] | ||
| Разделив первое равенство на второе, получим | Разделив первое равенство на второе, получим | ||
| \[ | \[ | ||
| d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right). | d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right). | ||
| \] | \] | ||
| Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих | Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | ||
| случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его | |||
| попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | |||
| в системе $K'$. | в системе $K'$. | ||
|  |  | ||
| Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$: | Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$: | ||
| \[ | \[ | ||
| \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | ||
| \] | \] | ||
| Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со | Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают | ||
| скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в | |||
| лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же | |||
| событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль | |||
| направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда | |||
| преобразования Лоренца дают | |||
| \[ | \[ | ||
| \Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' | \Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' | ||
| +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right). | +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right). | ||
| \] | \] | ||
| а) Конденсатор движется поперек пластин. | а) Конденсатор движется поперек пластин. | ||
| Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения | Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями | ||
| электрона. Поэтому между событиями | испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$. | ||
| испускания и попадания электрона на вторую пластину | Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно | ||
| Следовательно, лабораторное время движения | |||
| $t_a$ равно | |||
| \[ | \[ | ||
| t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) | t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) | ||
| =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | ||
| \left[1+\frac{u}{v} | \left[1+\frac{u}{v} | ||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]. | \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]. | ||
| \] | \] | ||
| Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования | Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования | ||
| $x=\gamma_u(x'+ut')$ и | $x=\gamma_u(x'+ut')$ и | ||
| $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость | $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$: | ||
| $v_a$ электрона в системе $K$: | |||
| \[ | \[ | ||
| v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}. | v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}. | ||
| \] | \] | ||
| **б) Конденсатор движется параллельно пластинам.** | **б) Конденсатор движется параллельно пластинам.** | ||
| Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий | Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно | ||
| изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время | |||
| движения $t_b$ равно | |||
| \[ | \[ | ||
| t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | ||
| \] | \] | ||
| Из преобразований | Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | ||
| $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на | |||
| второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | |||
| \[ | \[ | ||
| v_x=\frac{v}{\gamma_u}, | v_x=\frac{v}{\gamma_u}, | ||
| \qquad | \qquad | ||
| v_y=u. | v_y=u. | ||
| \] | \] | ||
| Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен | Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен | ||
| \[ | \[ | ||
| v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} | v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} | ||
| =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. | =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. | ||
| \] | \] | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а) время увеличится в | а) время увеличится в | ||
| \[ | \[ | ||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | ||
| \left[1+\frac{u}{v} | \left[1+\frac{u}{v} | ||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]} | \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]} | ||
| \] | \] | ||
| раза, а | раза, а | ||
| \[ | \[ | ||
| \boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}}; | \boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}}; | ||
| \] | \] | ||
| б) время увеличится в | б) время увеличится в | ||
| \[ | \[ | ||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} | \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} | ||
| \] | \] | ||
| раза, а | раза, а | ||
| \[ | \[ | ||
| @@ -119,6 +91,4 @@Ответ | |||
| \boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}. | \boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}. | ||
| \] | \] | ||
| В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под | В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ соответствует направлениям движения, указанным в условии. | ||
| переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ | |||
| соответствует направлениям движения, указанным в условии. | |||