| @@ -1,110 +1,152 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $3.8.12.$ Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях. |
| | + | $3.8.12^\ast$. Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порожденные ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях. |
| | | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | + | Стержни обозначим $1$ и $2$. Пусть стержни ненапряженные вначале и сталкиваются с соответствующими скоростями $v_1, v_2$. Скорости далее рассматриваются как проекции. |
| | | |
| | − | Пронумеруем стержни индексом $i=1,2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1>u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причём $u_1>U>u_2$. |
| | + | По способу решения задачи $3.8.11$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v_1/2$ или $v_2/2$ в соответствующем направлении. |
| | | |
| | − | Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i\Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i-U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен |
| | + | #### Механизм |
| | | |
| | + | Из решений подобных стандартных задач можем угадать, что разлет, удовлетворяющий условию, будет также у стержней при ненапряженном состоянии. Простейший способ получить отсутствие деформации в стержнях такой. |
| | + | |
| | + | После касания частичные волны стержней переходят с изменением в соседний стержень и отражаются обратно с изменением в тот же стержень, так как среды разные. |
| | + | |
| | + | С учетом этого ненапряженное состояние появится точно через время |
| | | $$ |
| | − | |\varepsilon_i| |
| | − | =\frac{|u_i-U|\Delta t}{c_i\Delta t} |
| | − | =\frac{|u_i-U|}{c_i}. |
| | + | \frac{2l_1}{c_1} = \frac{2l_2}{c_2}, |
| | | $$ |
| | + | когда все частичные волны каждого стержня полностью пройдут в соседний и отразятся от границы (придется додуматься и читать теорию). |
| | | |
| | − | Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i=SE_i|\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берётся нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_iSc_i\Delta t$ и изменяет её скорость на $|u_i-U|=c_i|\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы: |
| | − | |
| | + | Сразу после этого в стержнях будут волны скорости, дающие общую скорость стержней, которые находятся сложением находящихся в них частичных бегущих волн: |
| | | $$ |
| | − | E_i|\varepsilon_i|S\Delta t |
| | − | =\rho_iSc_i\Delta t\,c_i|\varepsilon_i|. |
| | + | \boxed{V_2 = \underset{1\to2}{k_{\text{пр}}}v_1 + \underset{2\to1}{k_{\text{от}}}v_2}\tag{1} |
| | | $$ |
| | + | и |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{V_1 = \underset{2\to1}{k_{\text{пр}}}v_2 + \underset{1\to2}{k_{\text{от}}}v_1}\tag{2} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | После сокращения одинаковых множителей получаем школьную связь для продольной волны |
| | + | где |
| | + | <ul> |
| | + | <li>$\underset{i\to n}{k_{\text{пр}}}$ есть <b>коэффициент прохождения волны по скорости</b>, показывающий, как меняется скорость частичной бегущей волны при прохождении через границу в направлении из среды $i$ в среду $n$.</li> |
| | + | <li>$\underset{i\to n}{k_{\text{от}}}$ есть <b>коэффициент отражения волны по скорости</b>, показывающий, как меняется скорость частичной бегущей волны при отражении от границы при падении в направлении из $i$ в $n$.</li> |
| | + | </ul> |
| | | |
| | + | Эти коэффициенты введены для того, чтобы иметь дело с рассмотрением только волн скорости, так проще. |
| | + | |
| | + | Теперь эти коэффициенты надо найти. |
| | + | |
| | + | #### Коэффициенты |
| | + | |
| | + | Пусть прямоугольная бегущая волна скорости $v_{\text{п}}$ частиц падает на границу раздела двух сред $1$ и $2$ с плотностями и скоростями звука $\rho_1, c_1$ и $\rho_2, c_2$ из среды $1$ в $2$. |
| | + | |
| | + | Войдя полностью в границу, эта падающая волна дает две бегущие волны: отраженную и пройденную со скоростями частиц $v_{\text{о}}$ и $v_{\text{пр}}$. |
| | + | |
| | + | Пусть ширина падающей волны $l_1$, сечение сред $S$ одинаково. Запишем закон сохранения энергии: |
| | | $$ |
| | − | c_i^2=\frac{E_i}{\rho_i}. |
| | + | \rho_1v_{\text{п}}^2 l_1 S = \rho_1v_{\text{о}}^2 l_1 S + \rho_2v_{\text{пр}}^2 l_2 S |
| | | $$ |
| | + | где $l_2 = c_2\tau$ (здесь $\tau = l_1/c_1$ есть время вхождения падающей волны в границу). |
| | | |
| | − | Следовательно, |
| | − | |
| | + | Закон сохранения импульса: |
| | | $$ |
| | − | F_i=SE_i|\varepsilon_i| |
| | − | =S\rho_i c_i|u_i-U|. |
| | + | \rho_1 l_1 S v_{\text{п}} = \rho_1 l_1 S v_{\text{о}} + \rho_2 l_2 S v_{\text{пр}} |
| | | $$ |
| | | |
| | − | По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учётом $u_1>U>u_2$ имеем |
| | + | Из предыдущих двух уравнений получаем: |
| | | |
| | + | - Коэффициент прохождения по скорости: |
| | | $$ |
| | − | \rho_1c_1S(u_1-U)=\rho_2c_2S(U-u_2), |
| | + | \underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{v_{\text{пр}}}{v_{\text{п}}} = \frac{2\rho_1c_1}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2} |
| | | $$ |
| | + | или через массы короче: |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | откуда |
| | + | - Коэффициент отражения по скорости: |
| | + | $$ |
| | + | \underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{v_{\text{о}}}{v_{\text{п}}} = \frac{\rho_1c_1 - \rho_2c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2c_2} |
| | + | $$ |
| | + | или через массы короче: |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{\underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}} |
| | + | $$ |
| | | |
| | + | <b>Это из среды $1$ в $2$.</b> Если падающая волна идет из среды $2$ в $1$, то индексы меняются: $1\leftrightarrow 2$. |
| | + | |
| | + | #### Итог |
| | + | |
| | + | В задачах динамики без потери энергии на волны внутри тел получаются такие результаты для столкновения лобового и упругого. В тех же терминах для тел $1$ и $2$ при начальных скоростях $v_1, v_2$ их скорости после соударения получаются по образу формул (1) и (2): |
| | | $$ |
| | − | U=\frac{\rho_1c_1u_1+\rho_2c_2u_2} |
| | − | {\rho_1c_1+\rho_2c_2}. |
| | + | u_1 = \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 |
| | | $$ |
| | + | и |
| | + | $$ |
| | + | u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2 |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Из условия $l_1/l_2=c_1/c_2$ следует $l_1/c_1=l_2/c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$: |
| | + | С учетом выражений для коэффициентов эти две скорости совпали со скоростями, соответствующими уравнениям (1) и (2). Значит, стержни будут разлетаться, как в простой динамике. |
| | | |
| | + | #### Дополнение |
| | + | |
| | + | После касания скорости частиц в стержнях в зонах вблизи границы раздела находятся через сложение (суперпозицию) частичных бегущих волн: начальная, отраженная и пройденная. Вот скорость в зоне первого стержня: |
| | | $$ |
| | − | \tau=\frac{l_1}{c_1}=\frac{l_2}{c_2}. |
| | + | v_1' = \frac{v_1}{2} + \underset{1\to 2}{k_{\text{от}}}\frac{v_1}{2} + \underset{2\to 1}{k_{\text{пр}}}\frac{v_2}{2}, |
| | | $$ |
| | + | что дает скорость центра масс сталкивающихся стержней. |
| | | |
| | − | Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отражённые волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта. |
| | + | В зоне второго стержня скорость такая же. Значит, стержни не отрываются, пока не придут в то ненапряженное состояние по формулам (1) и (2), которое мы угадали. |
| | | |
| | − | На расчётном чертеже $t$ обозначает время, а $\xi$ — координату, отсчитываемую вдоль недеформированных стержней. Поэтому их свободные концы изображены при $\xi=-l_1$ и $\xi=l_2$. |
| | + | #### Литература |
| | + | [1] Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. (Механика упругих тел.) |
| | | |
| | − |  |
| | + | --- |
| | | |
| | + | ### Альтернативное решение |
| | | |
| | − | У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отражённая волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отражённых волн стержни снова не деформированы, и |
| | + | Пронумеруем стержни индексом $i = 1, 2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1 > u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причем $u_1 > U > u_2$. |
| | | |
| | − | $$ |
| | − | v_1=2U-u_1, |
| | − | \qquad |
| | − | v_2=2U-u_2. |
| | − | $$ |
| | + | Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i \Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i - U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен: |
| | + | $$ |\varepsilon_i| = \frac{|u_i - U|\Delta t}{c_i \Delta t} = \frac{|u_i - U|}{c_i} $$ |
| | | |
| | − | Подставляя найденную скорость $U$, получаем |
| | + | Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i = S E_i |\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берется нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_i S c_i \Delta t$ и изменяет ее скорость на $|u_i - U| = c_i |\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы: |
| | + | $$ E_i |\varepsilon_i| S \Delta t = \rho_i S c_i \Delta t \cdot c_i |\varepsilon_i| $$ |
| | | |
| | − | $$ |
| | − | v_1=\frac{(\rho_1c_1-\rho_2c_2)u_1+2\rho_2c_2u_2} |
| | − | {\rho_1c_1+\rho_2c_2}, |
| | − | \qquad |
| | − | v_2=\frac{2\rho_1c_1u_1+(\rho_2c_2-\rho_1c_1)u_2} |
| | − | {\rho_1c_1+\rho_2c_2}. |
| | − | $$ |
| | + | После сокращения одинаковых множителей получаем связь для продольной волны: |
| | + | $$ c_i^2 = \frac{E_i}{\rho_i} $$ |
| | | |
| | − | Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i=\rho_iSl_i$, условие на длины даёт |
| | + | Следовательно, |
| | + | $$ F_i = S E_i |\varepsilon_i| = S \rho_i c_i |u_i - U| $$ |
| | | |
| | − | $$ |
| | − | \frac{m_1}{m_2} |
| | − | =\frac{\rho_1l_1}{\rho_2l_2} |
| | − | =\frac{\rho_1c_1}{\rho_2c_2}. |
| | − | $$ |
| | + | По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учетом $u_1 > U > u_2$ имеем: |
| | + | $$ \rho_1 c_1 S (u_1 - U) = \rho_2 c_2 S (U - u_2) $$ |
| | + | откуда общая скорость контакта: |
| | + | $$ U = \frac{\rho_1 c_1 u_1 + \rho_2 c_2 u_2}{\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2} $$ |
| | | |
| | − | Следовательно, конечные скорости можно записать так: |
| | + | Из условия $l_1 / l_2 = c_1 / c_2$ следует $l_1 / c_1 = l_2 / c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$: |
| | + | $$ \tau = \frac{l_1}{c_1} = \frac{l_2}{c_2} $$ |
| | + | Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отраженные волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта. |
| | | |
| | − | $$ |
| | − | v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}, |
| | − | \qquad |
| | − | v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}. |
| | − | $$ |
| | + |  |
| | | |
| | − | Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2-v_1=u_1-u_2>0$, поэтому после возвращения отражённых волн стержни расходятся и контакт прекращается. |
| | − | #### Ответ |
| | − | при $l_1/l_2=c_1/c_2$ результат столкновения совпадает с результатом абсолютно упругого удара тел масс $m_1$ и $m_2$: |
| | + | У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отраженная волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отраженных волн стержни снова не деформированы, и: |
| | + | $$ v_1 = 2U - u_1, \quad v_2 = 2U - u_2 $$ |
| | | |
| | − | $$ |
| | − | \boxed{ |
| | − | \begin{aligned} |
| | − | v_1&=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}, \\ |
| | − | v_2&=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}. |
| | − | \end{aligned}} |
| | − | $$ |
| | + | Подставляя найденную скорость $U$, получаем: |
| | + | $$ v_1 = \frac{(\rho_1 c_1 - \rho_2 c_2)u_1 + 2\rho_2 c_2 u_2}{\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2}, \quad v_2 = \frac{2\rho_1 c_1 u_1 + (\rho_2 c_2 - \rho_1 c_1)u_2}{\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2} $$ |
| | | |
| | + | Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i = \rho_i S l_i$, условие на длины дает: |
| | + | $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho_1 l_1}{\rho_2 l_2} = \frac{\rho_1 c_1}{\rho_2 c_2} $$ |
| | | |
| | + | Следовательно, конечные скорости можно записать так: |
| | + | $$ v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \quad v_2 = \frac{2m_1 u_1 + (m_2 - m_1)u_2}{m_1 + m_2} $$ |
| | + | |
| | + | Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2 - v_1 = u_1 - u_2 > 0$, поэтому после возвращения отраженных волн стержни расходятся и контакт прекращается. |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | При $l_1/l_2 = c_1/c_2$ результат столкновения совпадает с результатом абсолютно упругого удара тел масс $m_1$ и $m_2$: |
| | + | $$ v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \quad v_2 = \frac{2m_1 u_1 + (m_2 - m_1)u_2}{m_1 + m_2} $$ |
