New solution
ru/6.6.15.md
+63 −0
| @@ -0,0 +1,63 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $6.6.15.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью. | ||
| + | <b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки? | ||
| + | <b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити. | ||
| + | <b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити? | ||
| + | $г^\ast$. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити. | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | <b>а)</b> Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе. | ||
| + | Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила: | ||
| + | $$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$ | ||
| + | Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются <b>к нити</b>. | ||
| + | |||
| + | <b>б)</b> Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле: | ||
| + | $$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$ | ||
| + | где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей: | ||
| + | $$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$ | ||
| + | По определению поляризованности линейного диэлектрика: | ||
| + | $$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$ | ||
| + | Выразим отсюда вектор поляризованности: | ||
| + | $$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$ | ||
| + | Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$: | ||
| + | $$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$ | ||
| + | Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как: | ||
| + | $$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$ | ||
| + | Запишем отношение сил для двух пылинок: | ||
| + | $$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$ | ||
| + | Отсюда находим искомую силу: | ||
| + | $$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>в)</b> Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$: | ||
| + | $$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$ | ||
| + | Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде: | ||
| + | $$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$ | ||
| + | Подставим функцию поля $E(x)$: | ||
| + | $$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$ | ||
| + | Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния: | ||
| + | $$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>г)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса): | ||
| + | $$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$ | ||
| + | При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента: | ||
| + | $$F \propto p \propto R^3$$ | ||
| + | Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок: | ||
| + | $$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | а. К нити | ||
| + | б. $F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$ | ||
| + | в. $F \propto V^2$, $F \propto 1/x^3$ | ||
| + | г. В $R^3 / r^3$ раз | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,63 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $6.6.15.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| ### Условие | |||
| $6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью. | |||
| <b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки? | |||
| <b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити. | |||
| <b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити? | |||
| $г^\ast$. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити. | |||
| ### Решение | |||
| <b>а)</b> Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе. | |||
| Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила: | |||
| $$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$ | |||
| Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются <b>к нити</b>. | |||
| <b>б)</b> Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле: | |||
| $$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$ | |||
| где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей: | |||
| $$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$ | |||
| По определению поляризованности линейного диэлектрика: | |||
| $$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$ | |||
| Выразим отсюда вектор поляризованности: | |||
| $$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$ | |||
| Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$: | |||
| $$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$ | |||
| Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как: | |||
| $$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$ | |||
| Запишем отношение сил для двух пылинок: | |||
| $$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$ | |||
| Отсюда находим искомую силу: | |||
| $$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$ | |||
| <b>в)</b> Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$: | |||
| $$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$ | |||
| Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде: | |||
| $$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$ | |||
| Подставим функцию поля $E(x)$: | |||
| $$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$ | |||
| Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния: | |||
| $$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$ | |||
| <b>г)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса): | |||
| $$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$ | |||
| При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента: | |||
| $$F \propto p \propto R^3$$ | |||
| Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок: | |||
| $$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| а. К нити | |||
| б. $F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$ | |||
| в. $F \propto V^2$, $F \propto 1/x^3$ | |||
| г. В $R^3 / r^3$ раз | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||