Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Valter edited Sep 8, 2026, 7:15 PM

View solution History

revision #20625 parent #20624 ← older

ru/6.6.15.md +9 −14

		@@ -1,17 +1,13 @@
			### Условие

		−	$6.6.15.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью.\
		+	<b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?\
		+	<b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити.\
		+	<b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
		+	<b>г*</b>. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.

		−	### Решение

		−	### Условие

		−	$6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью.
		−	<b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?
		−	<b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити.
		−	<b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
		−	$г^\ast$. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.
		−
			### Решение

			<b>а)</b> Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе.
			Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила:
			$$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$
			Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются <b>к нити</b>.

			<b>б)</b> Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле:
			$$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
			где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей:
			$$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
			По определению поляризованности линейного диэлектрика:
			$$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$
			Выразим отсюда вектор поляризованности:
			$$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$
			Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
			$$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$
			Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как:
			$$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$
			Запишем отношение сил для двух пылинок:
			$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$
			Отсюда находим искомую силу:
			$$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$

			<b>в)</b> Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$:
			$$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$
			Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде:
			$$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$
			Подставим функцию поля $E(x)$:
			$$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$
		@@ -45,19 +41,18 @@Решение
			Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния:
			$$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$

		−	<b>г)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):
		+	<b>г*)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):
			$$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$
			При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента:
			$$F \propto p \propto R^3$$
			Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок:
			$$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$

			#### Ответ
			а. К нити
		+
			б. $F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$
		+
			в. $F \propto V^2$, $F \propto 1/x^3$
		−	г. В $R^3 / r^3$ раз

		−	#### Ответ
		−
		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	г. В $R^3 / r^3$ раз

	@@ -1,17 +1,13 @@
	### Условие		### Условие

	$6.6.15.$ [Вставьте условие задачи]		$6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью.\
			<b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?\
			<b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити.\
			<b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
			<b>г*</b>. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.

	### Решение

	### Условие

	$6.6.15.$ Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов $V$. По трубе пропускают воздух с пылью.
	<b>а.</b> К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?
	<b>б.</b> Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, равна $F_1$? Обе пылинки одинаково удалены от нити.
	<b>в.</b> Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
	$г^\ast$. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса $R$, больше силы, действующей на пылинку радиуса $r < R$? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.

	### Решение		### Решение

	<b>а)</b> Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе.		<b>а)</b> Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе.
	Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила:		Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила:
	$$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$		$$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$
	Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются <b>к нити</b>.		Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются <b>к нити</b>.

	<b>б)</b> Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле:		<b>б)</b> Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле:
	$$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$		$$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
	где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей:		где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей:
	$$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$		$$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
	По определению поляризованности линейного диэлектрика:		По определению поляризованности линейного диэлектрика:
	$$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$		$$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$
	Выразим отсюда вектор поляризованности:		Выразим отсюда вектор поляризованности:
	$$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$		$$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$
	Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:		Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
	$$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$		$$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$
	Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как:		Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как:
	$$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$		$$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$
	Запишем отношение сил для двух пылинок:		Запишем отношение сил для двух пылинок:
	$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$		$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$
	Отсюда находим искомую силу:		Отсюда находим искомую силу:
	$$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$		$$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$

	<b>в)</b> Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$:		<b>в)</b> Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$:
	$$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$		$$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$
	Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде:		Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде:
	$$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$		$$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$
	Подставим функцию поля $E(x)$:		Подставим функцию поля $E(x)$:
	$$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$		$$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$
	@@ -45,19 +41,18 @@Решение
	Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния:		Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния:
	$$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$		$$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$

	<b>г)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):		<b>г*)</b> Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):
	$$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$		$$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$
	При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента:		При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента:
	$$F \propto p \propto R^3$$		$$F \propto p \propto R^3$$
	Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок:		Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок:
	$$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$		$$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$

	#### Ответ		#### Ответ
	а. К нити		а. К нити

	б. $F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$		б. $F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$

	в. $F \propto V^2$, $F \propto 1/x^3$		в. $F \propto V^2$, $F \propto 1/x^3$
	г. В $R^3 / r^3$ раз

	#### Ответ		г. В $R^3 / r^3$ раз

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]