Решение

Эта задача есть развитие задач $3.8.17,\ 3.8.18$. Рассуждаем в терминах амплитуды.

Рассмотрим первый случай ослабления.

Сначала рисунок-схема к тексту далее.

Пусть волна только вошла в среду $2$ (экран). Эта пройденная волна дойдет до правой границы экрана (коротко — граница) отразится от нее и пойдет к левой границе (входная граница для основной волны), при этом знак амплитуды не меняется (задача $3.8.6$). Если она в момент касания левой границы в противофазе накладывается на проходящую основную, то мы получаем ослабленную результирующую амплитуду как разность

• амплитуды проходящей от основной

• и амплитуды отраженной $2$ раза от проходящей от основной.

Это только после первого цикла типа туда-сюда для волны внутри экрана. Остается посмотреть, что будет при каждом следующем цикле.

Циклы

Смотрим циклы. Множители $\rho c$ обозначены $x$.

• Цикл $0$. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
  $$A_2^{(0)} = A\cdot\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}.$$
  где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.

• Цикл $1$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) пройденная на предыдущем цикле, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
  $$A_2^{(1)}\hphantom{}'^* = A_2^{(0)} - A_2^{(0)}\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 = A_2^{(0)}\left(1 - \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2\right).$$

• Цикл $2$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) волна с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^*$, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
  $$A_2^{(2)}\hphantom{}'^* = A_2^{(0)} - A_2^{(1)}\hphantom{}'^*\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 = A_2^{(0)}\left(1 - \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^4\right).$$

• Цикл $\infty$. Он заканчивается тем, что у левой границы в экране результирующая имеет амплитуду (и идет к выходной границе):
  $$\boxed{A_2^{(\infty)}\hphantom{}'^* = A_2^{(0)}\left(1 - \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^4 - \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^6 + \ldots\right).}$$

Находим предыдыущее по формуле бесконечно убывающей геом. прогрессии, считая $x_2 \gg x_1$.

$$A_2^{(\infty)}\hphantom{}'^* \approx A\frac{x_1}{x_2} \ll A.$$

Эта амплитуда пройдет через правую на выход с результатом

$$\boxed{A_1^{(\infty)} = A\frac{x_1}{x_2}\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} \approx A\frac{2x_1}{x_2} \ll A.}$$

Подтверждено ослабление.

Без ослабления

Соответственно, без ослабления прохождение в выход справа при двойной толщине (см. рис.-схему в введении).

• Цикл $\infty$. Он заканчивается тем, что у левой границы в экране результирующая имеет амплитуду (и идет к выходной границе):
  $$\boxed{A_2^{(\infty)}\hphantom{}'^* = A_2^{(0)}\left(1 + \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^4 + \left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^6 + \ldots\right).}$$

Находим предыдыущее по формуле бесконечно убывающей геом. прогрессии, считая $x_2 \gg x_1$.

$$A_2^{(\infty)}\hphantom{}'^* \approx \frac{A}{2} \sim A.$$

Эта амплитуда пройдет через правую на выход с результатом

$$\boxed{A_1^{(\infty)} = \frac{A}{2}\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} \approx A.}$$

Подтверждено не(!) ослабление.

Толщины экранов

Из рис.-схемы в введении

$$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{c_2}{4\nu} = 1{,}25~\text{мм}$$

и

$$l_2 = 2l_1 = 2{,}5~\text{мм}.$$