Edit

albert edited
View solution History
revision #20741 parent #20715 ← older
ru/3.6.24.md +97 −108
@@ -1,136 +1,125 @@
−Speed of sound in different media
−Given:
+Условие:
−$$\beta_{\mathrm{Hg}}=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{atm}^{-1},\qquad
−\rho_{\mathrm{Hg}}=13.6\cdot10^3\,\mathrm{kg/m^3}$$
+Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно 3 · 10⁻⁵, 5 · 10⁻⁵ и 0,71 атм⁻¹, а их плотность — соответственно 13,6 · 10³, 1 · 10³ и 1,2 кг/м³.
+Определите скорость звука в этих средах.
−$$\beta_{\mathrm{water}}=5\cdot10^{-5}\,\mathrm{atm}^{-1},\qquad
−\rho_{\mathrm{water}}=1.0\cdot10^3\,\mathrm{kg/m^3}$$
−$$\beta_{\mathrm{air}}=0.71\,\mathrm{atm}^{-1},\qquad
−\rho_{\mathrm{air}}=1.2\,\mathrm{kg/m^3}$$
+\[Дано:
+\beta_{\mathrm{Hg}}=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{Hg}}=13.6\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}
+\]
+\[
+\beta_{\mathrm{H_2O}}=5\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{H_2O}}=1.0\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}
+\]
+\[
+\beta_{\text{воздух}}=0.71\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\text{воздух}}=1.2\,\mathrm{кг/м^3}
+\]
−Main formula:
+Основная формула:
+\[
+v=\sqrt{\frac{1}{\beta\rho}}
+\]
+где $\beta$ — сжимаемость среды, а $\rho$ — плотность среды.
−$$v=\sqrt{\frac{1}{\beta\rho}}$$
+Переведём сжимаемость из $\mathrm{атм}^{-1}$ в $\mathrm{Па}^{-1}$:
+\[
+1\,\mathrm{атм}=101325\,\mathrm{Па} \implies 1\,\mathrm{атм}^{-1}=\frac{1}{101325}\,\mathrm{Па}^{-1}
+\]
−where $\beta$ is the compressibility of the medium, and $\rho$ is the density of the medium.
+1. Ртуть
−We convert the compressibility from $\mathrm{atm}^{-1}$ to $\mathrm{Pa}^{-1}$.
+\[
+\beta_{\mathrm{Hg}}=\frac{3\cdot10^{-5}}{101325} \approx 2.96\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}
+\]
−$$1\,\mathrm{atm}=101325\,\mathrm{Pa}$$
+Используем формулу:
+\[
+v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{Hg}}\rho_{\mathrm{Hg}}}}
+\]
−Therefore,
+Подставляем значения:
+\[
+v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)}}
+\]
−$$1\,\mathrm{atm}^{-1}=\frac{1}{101325}\,\mathrm{Pa}^{-1}$$
+Вычисляем знаменатель:
+\[
+(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3) \approx 4.0256\cdot10^{-6}
+\]
−1. Mercury
+Следовательно:
+\[
+v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{4.0256\cdot10^{-6}}} \approx 498\,\mathrm{м/с}
+\]
−$$\beta_{\mathrm{Hg}}=
−\frac{3\cdot10^{-5}}{101325}
−\approx2.96\cdot10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$$
+Ответ для ртути:
+\[
+v_{\mathrm{Hg}}\approx 500\,\mathrm{м/с}
+\]
−We use the formula:
+2. Вода ($\mathrm{H_2O}$)
−$$v_{\mathrm{Hg}}=
−\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{Hg}}\rho_{\mathrm{Hg}}}}$$
+\[
+\beta_{\mathrm{H_2O}}=\frac{5\cdot10^{-5}}{101325} \approx 4.93\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}
+\]
−Substituting the values:
+Используем формулу:
+\[
+v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{H_2O}}\rho_{\mathrm{H_2O}}}}
+\]
−$$v_{\mathrm{Hg}}=
−\sqrt{\frac{1}
−{(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)}}$$
+Подставляем значения:
+\[
+v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)}}
+\]
−First, we calculate the denominator:
+Вычисляем знаменатель:
+\[
+(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3) = 4.93\cdot10^{-7}
+\]
−$$(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)
−\approx4.0256\cdot10^{-6}$$
+Следовательно:
+\[
+v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{4.93\cdot10^{-7}}} \approx 1424\,\mathrm{м/с}
+\]
−Therefore:
+Ответ для воды:
+\[
+v_{\mathrm{H_2O}}\approx 1420\,\mathrm{м/с}
+\]
−$$v_{\mathrm{Hg}}=
−\sqrt{\frac{1}{4.0256\cdot10^{-6}}}$$
+3. Воздух
−$$v_{\mathrm{Hg}}\approx498\,\mathrm{m/s}$$
+\[
+\beta_{\text{воздух}}=\frac{0.71}{101325} \approx 7.01\cdot10^{-6}\,\mathrm{Па}^{-1}
+\]
−Answer for mercury:
+Используем формулу:
+\[
+v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\text{воздух}}\rho_{\text{воздух}}}}
+\]
−$$\boxed{v_{\mathrm{Hg}}\approx500\,\mathrm{m/s}}$$
+Подставляем значения:
+\[
+v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{(7.01\cdot10^{-6})(1.2)}}
+\]
+Вычисляем знаменатель:
+\[
+(7.01\cdot10^{-6})(1.2) = 8.412\cdot10^{-6}
+\]
−2. Water
+Следовательно:
+\[
+v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{8.412\cdot10^{-6}}} \approx 345\,\mathrm{м/с}
+\]
−$$\beta_{\mathrm{water}}=
−\frac{5\cdot10^{-5}}{101325}
−\approx4.93\cdot10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$$
+Ответ для воздуха:
+\[
+v_{\text{воздух}}\approx 345\,\mathrm{м/с}
+\]
−We use the formula:
−
−$$v_{\mathrm{water}}=
−\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{water}}\rho_{\mathrm{water}}}}$$
−
−Substituting the values:
−
−$$v_{\mathrm{water}}=
−\sqrt{\frac{1}
−{(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)}}$$
−
−We calculate the denominator:
−
−$$(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)
−=4.93\cdot10^{-7}$$
−
−Therefore:
−
−$$v_{\mathrm{water}}=
−\sqrt{\frac{1}{4.93\cdot10^{-7}}}$$
−
−$$v_{\mathrm{water}}\approx1424\,\mathrm{m/s}$$
−
−Answer for water:
−
−$$\boxed{v_{\mathrm{water}}\approx1420\,\mathrm{m/s}}$$
−
−
−3. Air
−
−$$\beta_{\mathrm{air}}=
−\frac{0.71}{101325}
−\approx7.01\cdot10^{-6}\,\mathrm{Pa}^{-1}$$
−
−We use the formula:
−
−$$v_{\mathrm{air}}=
−\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{air}}\rho_{\mathrm{air}}}}$$
−
−Substituting the values:
−
−$$v_{\mathrm{air}}=
−\sqrt{\frac{1}
−{(7.01\cdot10^{-6})(1.2)}}$$
−
−We calculate the denominator:
−
−$$(7.01\cdot10^{-6})(1.2)
−=8.412\cdot10^{-6}$$
−
−Therefore:
−
−$$v_{\mathrm{air}}=
−\sqrt{\frac{1}{8.412\cdot10^{-6}}}$$
−
−$$v_{\mathrm{air}}\approx345\,\mathrm{m/s}$$
−
−Answer for air:
−
−$$\boxed{v_{\mathrm{air}}\approx345\,\mathrm{m/s}}$$
−
−
−Final answer:
−
−$$\boxed{
−v_{\mathrm{Hg}}\approx500\,\mathrm{m/s},\qquad
−v_{\mathrm{water}}\approx1420\,\mathrm{m/s},\qquad
−v_{\mathrm{air}}\approx345\,\mathrm{m/s}
−}$$
+Ответ:
+\[
+v_{\mathrm{Hg}}\approx500\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\mathrm{H_2O}}\approx1420\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\text{воздух}}\approx345\,\mathrm{м/с}
+\]