| @@ -1,142 +1,136 @@ |
| ### Условие |
| Решение задачи: скорость звука в различных средах |
| |
| |
| $3.6.24.$ [Вставьте условие задачи] |
| Дано: |
| |
| |
| ### Решение |
| $$\beta_{\mathrm{рт}}=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad |
| |
| \rho_{\mathrm{рт}}=13.6\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$ |
| |
| |
| Дано: |
| $$\beta_{\mathrm{вод}}=5\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad |
| |
| \rho_{\mathrm{вод}}=1.0\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$ |
| |
| |
| \[ |
| $$\beta_{\mathrm{возд}}=0.71\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad |
| \beta_{\text{рт}}=3\cdot10^{-5}\,\text{атм}^{-1}, |
| \rho_{\mathrm{возд}}=1.2\,\mathrm{кг/м^3}$$ |
| \qquad |
| |
| \beta_{\text{вод}}=5\cdot10^{-5}\,\text{атм}^{-1}, |
| |
| \qquad |
| |
| \beta_{\text{возд}}=0.71\,\text{атм}^{-1}, |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| \[ |
| Основная формула: |
| \rho_{\text{рт}}=13.6\cdot10^3\,\text{кг/м}^3, |
| |
| \qquad |
| |
| \rho_{\text{вод}}=10^3\,\text{кг/м}^3, |
| |
| \qquad |
| |
| \rho_{\text{возд}}=1.2\,\text{кг/м}^3. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Скорость звука в среде определяется формулой |
| $$v=\sqrt{\frac{1}{\beta\rho}}$$ |
| |
| |
| \[ |
| где $\beta$ — сжимаемость среды, а $\rho$ — плотность среды. |
| v=\sqrt{\frac{1}{\rho\beta}}, |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| где \(\rho\) — плотность среды, а \(\beta\) — её сжимаемость. |
| Переведём сжимаемость из $\mathrm{атм}^{-1}$ в $\mathrm{Па}^{-1}$. |
| |
| |
| Так как сжимаемость дана в \(\text{атм}^{-1}\), сначала переведём её в \(\text{Па}^{-1}\). |
| $$1\,\mathrm{атм}=101325\,\mathrm{Па}$$ |
| |
| |
| Используем |
| Следовательно, |
| |
| |
| \[ |
| $$1\,\mathrm{атм}^{-1}=\frac{1}{101325}\,\mathrm{Па}^{-1}$$ |
| 1\,\text{атм}=101325\,\text{Па}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Для ртути: |
| 1. Ртуть |
| |
| |
| \[ |
| $$\beta_{\mathrm{рт}}= |
| \beta_{\text{рт}} |
| |
| = |
| |
| \frac{3\cdot10^{-5}}{101325} |
| \frac{3\cdot10^{-5}}{101325} |
| \approx |
| \approx2.96\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$ |
| 2.96\cdot10^{-10}\,\text{Па}^{-1}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Подставляем в формулу: |
| Используем формулу: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{рт}}= |
| v_{\text{рт}} |
| \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{рт}}\rho_{\mathrm{рт}}}}$$ |
| = |
| |
| \sqrt{ |
| |
| \frac{1}{ |
| |
| (13.6\cdot10^3) |
| |
| (2.96\cdot10^{-10}) |
| |
| } |
| |
| }. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Получаем |
| Подставляем значения: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{рт}}= |
| \boxed{v_{\text{рт}}\approx498\,\text{м/с}}. |
| \sqrt{\frac{1} |
| \] |
| {(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)}}$$ |
| |
| |
| Для воды: |
| Сначала вычислим знаменатель: |
| |
| |
| \[ |
| $$(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3) |
| \beta_{\text{вод}} |
| \approx4.0256\cdot10^{-6}$$ |
| = |
| |
| |
| Поэтому: |
| |
| |
| |
| $$v_{\mathrm{рт}}= |
| |
| \sqrt{\frac{1}{4.0256\cdot10^{-6}}}$$ |
| |
| |
| |
| $$v_{\mathrm{рт}}\approx498\,\mathrm{м/с}$$ |
| |
| |
| |
| Ответ для ртути: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{v_{\mathrm{рт}}\approx500\,\mathrm{м/с}}$$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| 2. Вода |
| |
| |
| |
| $$\beta_{\mathrm{вод}}= |
| \frac{5\cdot10^{-5}}{101325} |
| \frac{5\cdot10^{-5}}{101325} |
| \approx |
| \approx4.93\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$ |
| 4.93\cdot10^{-10}\,\text{Па}^{-1}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Тогда |
| Используем формулу: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{вод}}= |
| v_{\text{вод}} |
| \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{вод}}\rho_{\mathrm{вод}}}}$$ |
| = |
| |
| \sqrt{ |
| |
| \frac{1}{ |
| |
| (10^3) |
| |
| (4.93\cdot10^{-10}) |
| |
| } |
| |
| }. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Следовательно, |
| Подставляем значения: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{вод}}= |
| \boxed{v_{\text{вод}}\approx1424\,\text{м/с}}. |
| \sqrt{\frac{1} |
| \] |
| {(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)}}$$ |
| |
| |
| Для воздуха: |
| Вычисляем знаменатель: |
| |
| |
| \[ |
| $$(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3) |
| \beta_{\text{возд}} |
| =4.93\cdot10^{-7}$$ |
| = |
| |
| |
| Следовательно: |
| |
| |
| |
| $$v_{\mathrm{вод}}= |
| |
| \sqrt{\frac{1}{4.93\cdot10^{-7}}}$$ |
| |
| |
| |
| $$v_{\mathrm{вод}}\approx1424\,\mathrm{м/с}$$ |
| |
| |
| |
| Ответ для воды: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{v_{\mathrm{вод}}\approx1420\,\mathrm{м/с}}$$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| 3. Воздух |
| |
| |
| |
| $$\beta_{\mathrm{возд}}= |
| \frac{0.71}{101325} |
| \frac{0.71}{101325} |
| \approx |
| \approx7.01\cdot10^{-6}\,\mathrm{Па}^{-1}$$ |
| 7.01\cdot10^{-6}\,\text{Па}^{-1}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Тогда |
| Используем формулу: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{возд}}= |
| v_{\text{возд}} |
| \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{возд}}\rho_{\mathrm{возд}}}}$$ |
| = |
| |
| \sqrt{ |
| |
| \frac{1}{ |
| |
| (1.2) |
| |
| (7.01\cdot10^{-6}) |
| |
| } |
| |
| }. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Следовательно, |
| Подставляем значения: |
| |
| |
| \[ |
| $$v_{\mathrm{возд}}= |
| \boxed{v_{\text{возд}}\approx345\,\text{м/с}}. |
| \sqrt{\frac{1} |
| \] |
| {(7.01\cdot10^{-6})(1.2)}}$$ |
| |
| |
| Ответ: |
| Вычисляем знаменатель: |
| |
| |
| \[ |
| $$(7.01\cdot10^{-6})(1.2) |
| \boxed{ |
| =8.412\cdot10^{-6}$$ |
| v_{\text{рт}}\approx500\,\text{м/с}, |
| |
| \qquad |
| |
| v_{\text{вод}}\approx1420\,\text{м/с}, |
| |
| \qquad |
| |
| v_{\text{возд}}\approx345\,\text{м/с} |
| |
| } |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| Следовательно: |
| |
| |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| $$v_{\mathrm{возд}}= |
| |
| \sqrt{\frac{1}{8.412\cdot10^{-6}}}$$ |
| |
| |
| |
| $$v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с}$$ |
| |
| |
| |
| Ответ для воздуха: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с}}$$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| Итоговый ответ: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{ |
| |
| v_{\mathrm{рт}}\approx500\,\mathrm{м/с},\qquad |
| |
| v_{\mathrm{вод}}\approx1420\,\mathrm{м/с},\qquad |
| |
| v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с} |
| |
| }$$ |
