3.6.21 | revision #20750 | Savchenko Solutions

Условие

3.6.21. а. По графику продольных смещений участков стрежня определите деформацию и упругую энергию, приходящуюся на единицу объема стержня, в области возмущения. Возмущение, сохраняя свой вид, перемещается вправо по стержню со скоростью $$c$$ . Какова скорость частиц стержня в области возмущения? Модуль Юнга материала стержня $$E$$ .

б. В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга $$E$$ и плотность $\rho$ материала стержня.

Решение

Пункт а

По определению

$\varepsilon = \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{L}.$

Объемная плотность упругой (потенциальной) энергии из механики упругих тел

$w_p = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{Eb^2}{2L^2}.$

Из механики распространения возмущения

$v = -c\varepsilon = c\frac{b}{L}.$

Пункт б

Дано $$w_p = w_k$$ , то есть

$E\varepsilon^2 = \rho v^2,$

откуда по пункту а

$с$$с = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$$

Литература

[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.

[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

а.

$\varepsilon = -b/L,\quad w = Eb^2/(2L^2);\quad u = -c\varepsilon = cb/L.$

б.

$c = \sqrt{E/\rho}.$