Edit to “Условие”

astrosander edited Sep 20, 2026, 7:13 AM

View solution History

revision #20855 parent #12492 ← older

ru/1.1.22.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие:

			$1.1.22.$ Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса $R$ летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно $h$. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем $r$, но большем $h$?

		−	![ К задаче 1.1.22 \|593x563, 34%](../../img/1.1.22/statement.png)
		+	![ К задаче 1.1.22 \|593x563, 30%](../../img/1.1.22/statement.svg)

			### Решение:

			![ Соударение о стенки цилиндра \|640x480, 42%](../../img/1.1.22/animation.gif)

			Рассмотрим движени шарика, описаного в условии задачи

			![ Путь шарика между соударениями \|593x613, 42%](../../img/1.1.22/drawing.png)

			Т.к. между соударениями скорость удара не меняется, а удары абсолютно упругие, то можно считать скорость неизменной. Следовательно, за равные промежутки времени тело, проходит равные расстояния.

			Тогда искомое отношение $\\frac{\\Delta t}{t}$, найдем как отношение $\\frac{BC}{AD}$

			$$
			\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{BC}{AD}
			$$

			По теореме Пифагора:

			$$
			BC = 2 \\sqrt{r^2-h^2}
			$$

			$$
			AD = 2 \\sqrt{R^2-h^2}
			$$

			Отсюда

			$$
			\\frac{BC}{AD} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}
			$$

			Или

			$$
			\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}
			$$

			#### Ответ: $\\Delta t/t=\\sqrt{(r^2-h^2)/(R^2-h^2)}$


		unchanged lines 39

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие:		### Условие:

	$1.1.22.$ Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса $R$ летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно $h$. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем $r$, но большем $h$?		$1.1.22.$ Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса $R$ летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно $h$. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем $r$, но большем $h$?

	![ К задаче 1.1.22 \|593x563, 34%](../../img/1.1.22/statement.png)		![ К задаче 1.1.22 \|593x563, 30%](../../img/1.1.22/statement.svg)

	### Решение:		### Решение:

	![ Соударение о стенки цилиндра \|640x480, 42%](../../img/1.1.22/animation.gif)		![ Соударение о стенки цилиндра \|640x480, 42%](../../img/1.1.22/animation.gif)

	Рассмотрим движени шарика, описаного в условии задачи		Рассмотрим движени шарика, описаного в условии задачи

	![ Путь шарика между соударениями \|593x613, 42%](../../img/1.1.22/drawing.png)		![ Путь шарика между соударениями \|593x613, 42%](../../img/1.1.22/drawing.png)

	Т.к. между соударениями скорость удара не меняется, а удары абсолютно упругие, то можно считать скорость неизменной. Следовательно, за равные промежутки времени тело, проходит равные расстояния.		Т.к. между соударениями скорость удара не меняется, а удары абсолютно упругие, то можно считать скорость неизменной. Следовательно, за равные промежутки времени тело, проходит равные расстояния.

	Тогда искомое отношение $\\frac{\\Delta t}{t}$, найдем как отношение $\\frac{BC}{AD}$		Тогда искомое отношение $\\frac{\\Delta t}{t}$, найдем как отношение $\\frac{BC}{AD}$

	$$		$$
	\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{BC}{AD}		\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{BC}{AD}
	$$		$$

	По теореме Пифагора:		По теореме Пифагора:

	$$		$$
	BC = 2 \\sqrt{r^2-h^2}		BC = 2 \\sqrt{r^2-h^2}
	$$		$$

	$$		$$
	AD = 2 \\sqrt{R^2-h^2}		AD = 2 \\sqrt{R^2-h^2}
	$$		$$

	Отсюда		Отсюда

	$$		$$
	\\frac{BC}{AD} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}		\\frac{BC}{AD} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}
	$$		$$

	Или		Или

	$$		$$
	\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}		\\frac{\\Delta t}{t} = \\frac{\\sqrt{r^2-h^2}}{\\sqrt{R^2-h^2}}
	$$		$$

	#### Ответ: $\\Delta t/t=\\sqrt{(r^2-h^2)/(R^2-h^2)}$		#### Ответ: $\\Delta t/t=\\sqrt{(r^2-h^2)/(R^2-h^2)}$


	unchanged lines 39