Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #22258 предыдущая #14882 ← раньше позже →
ru/11.5.6.md +62 −8
@@ -1,29 +1,83 @@
### Условие
$11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?
−
![К задаче $11.5.6$ |470x324, 30%](../../img/11.5.6/statement.svg)
### Решение
+Считаем сначала ток в сверхпроводящем соленоиде нулевой. Значит магнитный поток через все витки (потокосцепление) равен
−![|1158x928, 80%](../../img/11.5.6/scan-0.png)
+$$
+\Phi_1 = 0.
+$$
−Получены значения осевых(!) составляющих индукции магнитного поля в соленоиде.
+Когда внесли наполовину в поле то потоксцепление через все витки тоже должно быть равно нулю
+$$
+\Phi_2 = 0.
+$$
−#### Ответ
+Величина $\Phi_2$ может быть рассмотрена как сумма
−В области внешнего поля:
+- потока через левую половину (которая в поле) соленоида $\Phi_l$
+- и потока через правую половину соленоида вне поля $\Phi_r$.
+
+Тогда имеем
+
$$
−-\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
+0 = \Phi_l + \Phi_r.\tag{1}
$$
−В области без внешнего поля:
+Далее, поток через левую половину есть сумма потока $\Phi_f$ поля через левую половину и потока $\Phi_{cl}$ от тока в соленоиде через левую половину.
+Для величины $\Phi_f$:
+
$$
−\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
+\Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2},
+$$
+
+где $S$ есть площадь витка соленоида, $N$ есть количество витков соленоида.
+
+Учитывая, что поток через соленоид от его тока равен $\Phi_c = \Phi_{cl} + \Phi_r$ из $(1)$ получаем
+
$$
+0 = \Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c.
+$$
+
+Поток тока $\Phi_c$ можно представить
+
+$$
+\Phi_c = B_cSN,
+$$
+
+где $B_c$ есть поле внутри соленоида, созданное его током.
+
+Подставляем в предыдущее и находим
+
+$$
+\boxed{B_c = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.}
+$$
+
+Найдем модули осевых результирующих индукций в соленоиде.
+
+В поле:
+
+$$
+B = B_0\cos\alpha - \frac{1}{2}B_0\cos\alpha = \frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
+$$
+
+Вне поля
+
+$$
+B = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
+$$
+
+Почему не учитывается поток поля через соленоид от составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ через соленоид? Порядок площади сверхпроводящего контура для этой составляющей $lr$, где $l$ есть длина соленоида, а порядок площади сверхпроводящего контура для осевой составляющей $r^2N = r^2\dfrac{l}{d}$, где $d$ есть диаметр провода. Считаем, что $d \ll r$ и $\alpha \sim 1$, поэтому сравнивая видим, что поток для неучтенной составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ пренебрежимо мало по сравнению с потоком от осевой $B_0\cos\alpha$. Поэтому поток поля через соленоид, перпендикулярный оси не учитывался.
+
+
+#### Ответ
+
+Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна $(1/2)B_0\cos\alpha$, а вне этой области $-(1/2)B_0\cos\alpha$.