| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#5.6">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#5.6">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $5.6.22^*.$ В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы $M$. Под поршнем находится одноатомный газ при температуре $T$ и давлении $P$. Внутреннее сечение цилиндра $S$, высота той части сосуда, внутри которой находится газ, $H$. Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически? | | $5.6.22^*.$ В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы $M$. Под поршнем находится одноатомный газ при температуре $T$ и давлении $P$. Внутреннее сечение цилиндра $S$, высота той части сосуда, внутри которой находится газ, $H$. Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически? |
| | | |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 5.6.22 | | К задаче 5.6.22 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе | | a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе |
| $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \;(1)$$ | | $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \;(1)$$ |
| где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как | | где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как |
| $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(2)$$ | | $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(2)$$ |
| Подставляя $(2)$ в $(1)$ | | Подставляя $(2)$ в $(1)$ |
| $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(3)$$ | | $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(3)$$ |
| Из закона Бойля-Мариотта | | Из закона Бойля-Мариотта |
| $$PSH = P'Sy \;(4)$$ | | $$PSH = P'Sy \;(4)$$ |
| Применение уравнения состояния к начальному состоянию, | | Применение уравнения состояния к начальному состоянию, |
| $$n = \frac{PSH}{RT} \;(5)$$ | | $$n = \frac{PSH}{RT} \;(5)$$ |
| $$PSH = nRT$$ | | $$PSH = nRT$$ |
| Применение второго закона Ньютона | | Применение второго закона Ньютона |
| $$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$ | | $$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$ |
| В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно | | В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно |
| $$Mg = P'S \;(6)$$ | | $$Mg = P'S \;(6)$$ |
| Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$ | | Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$ |
| $$y = \frac{PSH}{Mg} \;(7)$$ | | $$y = \frac{PSH}{Mg} \;(7)$$ |
| Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$ | | Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$ |
| $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$ | | $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$ |
| b) Из закона Пуассона | | b) Из закона Пуассона |
| $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \;(8)$$ | | $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \;(8)$$ |
| Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна | | Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна |
| $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \;(9)$$ | | $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \;(9)$$ |
| Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив | | Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив |
| $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \;(10)$$ | | $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \;(10)$$ |
| Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$, | | Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$, |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \;(11)$$ | | $$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \;(11)$$ |
| </div> | | </div> |
| Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$ | | Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$ |
| $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$ | | $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> |
| BSc. Luis Daniel Fernández Quintana<br> | | BSc. Luis Daniel Fernández Quintana<br> |
| Physics Department (FCNE)<br> | | Physics Department (FCNE)<br> |
| Universidad de Oriente, Cuba<br> | | Universidad de Oriente, Cuba<br> |
