Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.24^*.$ Два тела массы $m_1$ и $m_2$ связаны натянутой нитью длины $l$ и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная $v$, перпендикулярна нити. Определите силу натяжения нити.
</p>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw1.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
Силы действующие на систему
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:
$$
\begin{cases}
\vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\
\vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\
\vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2}
\end{cases}
\quad \text{(1)}
$$
Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$:
$$
\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \quad \text{(2)}
$$
</p>
<center>
<figure>
<img src="draw2.png"
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
Вычитание векторов
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:
$$
\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \quad \text{(3)}
$$
Решаем производную:
$$
\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \quad \text{(4)}
$$
Вот почему мы можем сказать, что:
<div class="scroll-wrapper">
$$
\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \quad \text{(5)}
$$
</div>
Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона
$$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}$$
В конечном счете:
$$
\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \quad \text{(6)}
$$
$a_{12} = \frac{v^2}{l}$, где $l$ - длина нити, а $v$ - относительная скорость$\quad (7)$.
$$
F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{l} \quad \text{(8)}
$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{l}$$</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions