Решение

Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:

\begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \tag{1}

Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$:

$$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{2}$$

Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:

$$\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \tag{3}$$

Находим производную:

$$\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \tag{4}$$

Вот почему мы можем сказать, что:

$$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{5}$$

Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона

$$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}$$

В конечном счете:

$$\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \tag{6}$$

$a_{12} = \frac{v^2}{\ell}$, где $\ell$ — длина нити, а $v$ — относительная скорость$\quad (7)$.

$$F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell} \tag{8}$$