Электромагнитные волны > Распространение электромагнитных волн Квантовая природа света > Задача 12.2.9

Условие

$12.2.9^∗$. На экран, имеющий круглое отверстие, падает параллельный пучок света. Радиус отверстия совпадает с радиусом центральной зоны Френеля для точки $P$ (см. рисунок к предыдущей задаче). Используя графический метод, определите, во сколько раз интенсивность света от центральной зоны больше интенсивности света, приходившего бы в эту же точку, если бы не было экрана.

*Точку обозначил другой буквой, чтобы не путать обозначения в дальнейшем

Решение

Вспомним что по определению интенсивность пропорционально квадрату амплитуды ($I\propto w \propto E^2\propto A^2$)

Теперь осталось найти суммарную амплитуду колебаний. Обычно это делают с помощью метода векторных диаграм.

В этом простом методе волновую поверхность мысленно разбивают на очень узкие кольцевые зоны. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой из таких зон, изобразим вектором $dA $. Вследствие увеличения расстояния $ r $ (и некоторых других эффектов, которые сейчас неважны) амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразим отставание по фазе поворотом каждого вектора \( dA \) против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в точке $P$

На первом рисунке показан результат действия 1-й зоны Френеля. Здесь амплитуда колебаний $ dA_N $ от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны Френеля, отстает по фазе на $ \pi $ от амплитуды колебаний, приходящих в точку $P$ из центра 1-й зоны — от $ dA_1 $, поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.

Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний в точке от действия первых двух зон Френеля, (правее) затем от первых трех зон Френеляи т. д. Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон будет «закручиваться» в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) будет равна $ A_{\infty}=A $
Эту спираль называют спиралью Френеля.

Из этих построений видно, что амплитуда в случае 1-й зоны Френеля в 2 раза больше, чем для полной спирали - то есть при убраном экране. Соответственно, интенсивность увеличится в 4 раза.

Литература:

И.Е.Иродов, "ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ", c. 127-128

Ответ

$$
\boxed{В \ 4 \ раза}
$$