Электромагнитные волны > Распространение электромагнитных волн Квантовая природа света > Задача 12.2.14

Условие

$12.2.14$. Оцените минимальный размер предмета на поверхности Земли, который можно сфотографировать со спутника, летящего на высоте 200 км, а также минимальный размер предметов на Луне и на Марсе, которые можно сфотографировать с околоземной орбиты. Разрешающая способность фотопленки не ограничивает четкости изображения.

Решение

Когда свет от объекта проходит через входное отверстие камеры, на матрице формируется не точка, а дифракционная картина.

Мы не фотографируем одинокую точку (её всегда можно увидеть как пятнышко, даже если оно размыто).
Нам нужно различить две близкие детали (например, два кратера или два рядом стоящих предмета).
Если два объекта находятся слишком близко, их дифракционные пятна перекрываются, и мы видим одно расплывшееся пятно вместо двух.

Два точечных источника считаются разрешёнными, если главный максимум одного источника попадает точно в первый минимум дифракционной картины другого. Это же условие необходимо чтобы увидеть раздельно края нашего предмета. Поэтому предмет должен быть виден с точки съемки под углом больше негого $\theta_{min}$, $\theta_{min}$ - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму

Расстояние от земли до Луны примем $384 \ 467$ $км$, до Марса - $228.4$ $млн \ км$.

Также предположим, что у нас получилось купить фотоаппарат с объективом в форме щели: это поможет сильно упростить математику. Так как от нас требуют оценку, это приемлемо. Ширину щели $d$ примем равной $d=15 \ см$. Для получения верхней оценки возьмем соответствующую верхней границе видимого диапазона длину волны $\lambda=750 \ нм$

И вот после таких сомнительных упрощений мы получаем описанную в задаче 12.2.4 систему, из нее можно сразу взять формулу для $\sin\theta_{min}$, учитывая что для огромных расстояний в космосе верно $\sin\theta_{min}\approx \theta_{min}$

$$
\theta_{min} = \frac{\lambda}{d}
$$
Тогда размер предмета, расположенного на расстояии $r$:
$$
l\approx r\theta_{min}=r\frac{\lambda}{d}
$$
Ну и расчёты:
$$
l_{спутник - Земля}\approx 1 \ м
$$
$$
l_{Земля- Луна}\approx 2\ км
$$
$$
l_{Земля-Марс}\approx 1142\ км
$$
У Савченко ответ чуть другой - оценка сильно зависит от взятых значений (особенно расстояния до Марса, оно сильно меняется в течении года), по порядку величины все более менее сходится. В рамке - авторский ответ

Ответ

$$
\boxed{l \approx 1 \ м, 0.5 \ км, 150 \ км.}
$$