Специальная теория относительности > Закон сохранения массы и импульса > Задача 14.5.13

Условие

$14.5.13.$ Неподвижное ядро, распадаясь, испускает электрон с кинетической энергией $E_{eK} = 1, 73 \ МэВ$ и перпендикулярно к направлению движения электрона нейтрино с энергией $E_{\nu} = 1 \ МэВ$. Масса покоя нейтрино равна нулю. Чему будет равна кинетическая энергия ядра, если оставшаяся масса ядра $M =3.9 \cdot 10^{−22} \ г$.

Решение

Начальный импульс системы равен нулю, поэтому приобретенный ядром импульс должен скомпенсировать импульсы испущенных частиц. Так как они движутся перпендикулярно, можно провести 2 координатные оси вдоль направлений их движения, тогда
$$
p_x=p_e
$$
$$
p_x=p_{\nu}=\frac{E_{\nu}}{c} \ \text{- для безмассовой частицы}
$$
Также можно записать инвариант для электрона:
$$
p^2=\frac{E_e^2}{c^2}-m_e^2c^2
$$
И получить полный импульс ядра из теоремы Пифагора:
$$
p^2=p_x^2+p_y^2=\frac{E_{\nu}^2}{c^2}+\frac{E_e^2}{c^2}-m_e^2c^2
$$

Теперь запишем выражение для кинетической энергии и инвариант уже для ядра

$$
E_K=E-Mc^2
$$

$$
E^2=c^2(p^2+M^2c^2)=E_{\nu}^2+E_e^2-m_e^2c^4+M^2c^4
$$
$$
E_K=\sqrt{E_{\nu}^2+E_e^2-m_e^2c^4+M^2c^4}-Mc^2
$$
И наконец вспомним, что нам дана не полная, а кинетическая энергия электрона:
$$
E_e=E_{eK}+m_ec^2
$$
$$
E_K=\sqrt{E_{\nu}^2+(E_{eK}+m_ec^2)^2-m_e^2c^4+M^2c^4}-Mc^2
$$
Раскроем скобки
$$
E_K=\sqrt{E_{\nu}^2+E_{eK}(E_{eK}+2m_ec^2)+M^2c^4}-Mc^2
$$
Не забудем получить численный ответ. Кстати, интересно что масса ядра соответствует одному из изотопов урана. Можете проверить, переведя ее в атомные единицы
$$
E_K\approx 13 \ эВ
$$
$No:$

• У Савченко в ответе опечатка, к тому же он забыл о численном ответе
• Автор не мог об этом знать, но в $2015$ году Нобелевская премия по физике была вручена Такааки Кадзите (Takaaki Kajita) и Артуру Макдональду (Arthur B. McDonald), которые показали, что у нейтрино есть хоть и сверхмалая, но ненулевая масса.

Ответ

$$
\boxed{E_K=\sqrt{E_{\nu}^2+E_{eK}(E_{eK}+2m_ec^2)+M^2c^4}-Mc^2\approx 13 \ эВ}
$$