Колебания и волны > Наложение и отражение волн > Задача 3.8.3

Условие

$3.8.3.$ При нормальном падении волны на жесткую стенку возникает возмущение, при котором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падающую волну налагается идущая симметрично из-за стенки перевернутая волна смещений, то получится возмущение с нулевым смещением и требуемыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображенной на рисунке падающей волны распределение смещения и скорости среды, когда волна «войдет в стенку» на $1/6$, $1/2$, $2/3$ своей длины.

Решение

Смещения

Длиный участок волны описывается $y=\dfrac{1}{2}x+C$, а короткий участок волны описывается $y=-x+C$ (где $C$ в каждом случае есть постоянная, подбирающаяся по ситуации). Каждая волна пусть занимает $6$ единиц по оси горизонтальной $x$. Амплитуда смещения пусть равна $2$ для одинаковости масштабов по вертикали и горизонтали. Опишем результат реального наложения волн, а другие участки без наложения совпадают с одной из волн на реальной области ее нахождения.

Далее при сложении функций начало отсчета $O$ координат помещаем в центральной точке картины на стенке.

• Вхождение на $1/6$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(-1-x\right)=-2x
$$

на реальном отрезке наложения $[-1;0]$.

• Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=x,
$$

а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$:

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-3-x\right)=-1{,}5-\frac{1}{2}x.
$$

• Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1+\frac{1}{2}x\right)=x
$$

на реальном отрезке наложения $[-2;0]$.

Скорости

Сивухин сказал, что давление $P$ и скорость $v$ среды связаны так $P=\rho cv$, где $\rho$ есть плотность среды и $c$ есть скорость волны. И еще $P=E\varepsilon$, где $E$ есть модуль Юнга и $\varepsilon$ есть относительное смещение. Тогда

$$
v\sim\varepsilon,
$$

то есть скорость среды пропорциональна смещению в данной точке.

По Сивухину в волне сжатия скорость среды совпадает с направление скорости распространения волны, а в волне разрежения наоборот связаны эти скорости.

В нашем случае волны скоростей двигаются навстречу друг другу (волна сжатия слева, волна разрежения справа: скорости обеих волн одного знака!):

Описывать участки волн скоростей будем аналогично, но будем менять знак при сложении при необходимости, что происходит из-за отзеркаливания обратной волны по вертикали. Амплитуда скорости каждой волны пусть равна $2$.

Так же складываем функции прямые и обратные на реальных участках наложений.

• Вхождение на $1/6$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций

$$
v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(1+x\right)=2
$$

на реальном отрезке наложения $[-1;0]$.

• Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$

$$
v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(1{,}5-\frac{1}{2}x\right)=3,
$$

а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$:

$$
v_\text{п}+v_\text{о}=\left(3+x\right)+\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=4{,}5+1{,}5x.
$$

• Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций

$$
v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(1-\frac{1}{2}x\right)=2
$$

на реальном отрезке наложения $[-2;0]$.

Литература

[1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

Смещения:

Скорости: