Колебания и волны > Наложение и отражение волн > Задача 3.8.5

Условие

$3.8.5.$ На свободной границе среда не деформирована. Воспользуйтесь приемом решения задачи $3.8.3$ и найдите возмущение, возникающее в среде при падении волны на ее свободную границу.

Решение

Какое наложение предлагает Савченко, такое и обсуждаем (почитайте Сивухина по вопросу отражения волны от границы сред). [Рисунки загружены из задачи $3.8.3$.]

Решаем как $3.8.3$. Там полное совпадение с наложением бегущих волн скорости среды. Оттуда и берем подход и описание решения.

Длинный участок волны описывается $y=\pm\dfrac{1}{2}x+C$, а короткий участок волны описывается $y=\pm x+C$ (где $C$ в каждом случае есть постоянная, подбирающаяся по ситуации). Каждая волна пусть занимает $6$ единиц по оси горизонтальной $x$. Амплитуда смещения пусть равна $2$ для одинаковости масштабов по вертикали и горизонтали. Опишем результат реального наложения волн, а другие участки без наложения совпадают с одной из волн на реальной области ее нахождения.

Далее при сложении функций начало отсчета $O$ координат помещаем в центральной точке картины на стенке.

• Вхождение на $1/6$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(1+x\right)=2
$$

на реальном отрезке наложения $[-1;0]$.

• Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(1{,}5-\frac{1}{2}x\right)=3,
$$

а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$:

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(3+x\right)+\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=4{,}5+1{,}5x.
$$

• Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций

$$
y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(1-\frac{1}{2}x\right)=2
$$

на реальном отрезке наложения $[-2;0]$.

Ответ Савченко такой. См. рис. в условии задачи. В «неперевернутой» волне смещений знак деформации противоположен знаку деформации падающей волны.

Литература

[1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ