Колебания и волны > Наложение и отражение волн > Задача 3.8.4

Условие

$3.8.4.$ Как зависит от времени давление на стенку при падении на нее синусоидальной звуковой волны с частотой $\omega$ и амплитудой смещения $A$? Плотность среды $\rho$, скорость звука $c$. На каких расстояниях от стенки находятся узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?

Решение

Попробуйте показать (например, модель шаров), что отражение от жесткой стенки сохраняет знак смещения волны (Сивухин). То есть, если на жесткую стенку падает пусть прямоугольная для простоты волна сжатия, то отразится волна сжатия (положительные знаки смещения). Ну а волна разрежения, падающая на таую стену, даст отраженную волну разрежения (отрицательные знаки смещения). Далее считаем стену жесткой, используем указанный факт сохранения характера смещения в волне после отражения и используем прием задачи $3.8.3$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны.

Получается, что можно считать, что к стенке двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к стенке двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены (вроде копия).

Вот рисунок, стенка в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн.

Тут к стенке слева движется реальная падающая, к стенке справа движется мнимая. Они слева от стенки в сумме дают результрующую волну.

Смещение в падающей волне слева направо описывается

$$
y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right);
$$

если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны.

Смещение в мнимой волне справа налево описывается

$$
y'=A\sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right);
$$

По Сивухину с обобщением на газы в бегущей(!) волне изменение давление связано со скоростью среды (шаров среды как бы)

$$
\Delta P_\text{б}=\rho cv
$$

Скорость в каждой волне колеблется как производная по времени колебаний смещения. Для падающей это

$$
v=\dot y=\omega A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right),
$$

для мнимой это

$$
v'=\dot y'=\omega A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
$$

Это описания волн скорости среды для каждой указанной волны.

Суммарное изменение давления

$$
\Delta P=\Delta P_\text{б}+\Delta P'_\text{б}
$$

для соответствующих скоростей $v$ и $v'$. Что дает

$$
\Delta P=\rho c\omega A\left[\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)+\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\right].\tag{1}
$$

На плоскости стены $x=0$ это дает

$$
\boxed{\Delta P=2\rho c\omega A\cos\left(\omega t\right).}
$$

Волны скоростей среды в бегущих волнах падающей и мнимой имеют разные направления, поэтому при сложении в результирующую скорость одна из них берет минус

$$
u=v-v'=2\omega A\sin\omega t\sin\frac{2\pi}{\lambda}x
$$

(применили тригонометрию).

Откуда видно, что узлы скорости (нули) будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

Для исследования тех же вопросов для $\Delta P$ применим тригонометрию к формуле $(1)$.

Получаем

$$
\Delta P=2\rho c\omega A\cos\left(\omega t\right)\cos\left(-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)
$$

Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе.

Литература

[1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

[2] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.)

[3] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41.

Ответ

См. рис. $\Delta P = 2\rho c\omega A\cos\omega t$. Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Вблизи стенки — узел скорости и пучность давления. Первый узел давления отстоит от стенки на расстоянии $\lambda/4$.