Задача 5.4.18

Решение

Обозначим температуру внешней, более тёплой стенки сосуда через $T_1$, а температуру внутренней стенки, находящейся в тепловом контакте с жидким воздухом, через $T_2$:

$$T_1=293\,\text{К},\qquad T_2=81\,\text{К}.$$

Между стенками сосуда находится сильно разреженный воздух. По условию расстояние $d$ между стенками много меньше длины свободного пробега молекул $\lambda$:

$$d\ll\lambda.$$

Это означает, что молекула, покинув одну стенку, с большой вероятностью достигает другой стенки, не сталкиваясь по пути с другими молекулами. Следовательно, обычное описание теплопроводности газа как непрерывной среды здесь неприменимо. Перенос энергии происходит в свободномолекулярном режиме: отдельные молекулы непосредственно переносят энергию от более тёплой стенки к более холодной.

Будем считать, что после столкновения со стенкой молекула приходит с ней в тепловое равновесие. Тогда молекулы, покидающие тёплую стенку, имеют характерную кинетическую энергию, соответствующую температуре $T_1$, а молекулы, покидающие холодную стенку, — температуре $T_2$.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна

$$\varepsilon=\frac32kT.$$

Поэтому молекула, летящая от тёплой стенки к холодной, переносит избыток энергии порядка

$$\Delta\varepsilon=\frac32kT_1-\frac32kT_2.$$

Следовательно,

$$\Delta\varepsilon=\frac32k(T_1-T_2).$$

Теперь оценим число молекул, переносящих энергию между стенками за единицу времени.

Пусть площадь стенки равна $S$. Объём слоя разреженного газа между стенками имеет порядок

$$V\sim Sd.$$

Если концентрация молекул равна $n$, то число молекул в этом объёме составляет

$$N\sim nSd.$$

Характерное время перелёта молекулы от одной стенки до другой имеет порядок

$$t_f\sim\frac{d}{v},$$

где $v$ — характерная скорость теплового движения молекул.

Поэтому число перелётов между стенками в единицу времени можно оценить как

$$\dot N\sim\frac{N}{t_f}.$$

Подставляя выражения для $N$ и $t_f$, получаем

$$\dot N\sim\frac{nSd}{d/v}.$$

Расстояние между стенками сокращается:

$$\dot N\sim nSv.$$

Таким образом, конкретное значение $d$ в ответ не входит. Это естественно: при увеличении расстояния между стенками молекул в промежутке становится больше, но одновременно увеличивается время их перелёта между стенками.

Поскольку задача требует оценки, численные коэффициенты порядка единицы, связанные с точным угловым распределением скоростей молекул, в данном рассуждении не учитываются.

Концентрацию остаточного воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа:

$$p=nkT_1.$$

Отсюда

$$n=\frac{p}{kT_1}.$$

В качестве характерной скорости молекул возьмём среднеквадратичную скорость:

$$v=\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}},$$

где $m_0$ — масса одной молекулы воздуха.

Так как

$$m_0=\frac{M}{N_A}$$

и

$$R=kN_A,$$

то скорость удобно записать через молярную массу воздуха $M$:

$$v=\sqrt{\frac{3RT_1}{M}}.$$

Теперь найдём мощность теплового потока от тёплой стенки к холодной.

За единицу времени перенос энергии осуществляют порядка $\dot N$ молекул, каждая из которых переносит энергию $\Delta\varepsilon$. Поэтому

$$\dot Q\sim\dot N\,\Delta\varepsilon.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\dot Q\sim nSv\frac32k(T_1-T_2).$$

Используем

$$n=\frac{p}{kT_1}.$$

Тогда

$$\dot Q\sim\frac{p}{kT_1}Sv\frac32k(T_1-T_2).$$

Постоянная Больцмана сокращается:

$$\dot Q\sim\frac32pSv\frac{T_1-T_2}{T_1}.$$

Подставляя выражение для характерной скорости молекул, получаем

$$\boxed{\dot Q\sim\frac32pS\frac{T_1-T_2}{T_1}\sqrt{\frac{3RT_1}{M}}}.$$

Проверим размерность. Произведение $pSv$ имеет размерность

$$[pSv]=\text{Па}\cdot\text{м}^2\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}}=\frac{\text{Дж}}{\text{с}}=\text{Вт},$$

а отношение температур безразмерно. Следовательно, полученное выражение действительно имеет размерность мощности.

За время $\tau$ к жидкому воздуху поступит количество теплоты

$$Q=\dot Q\,\tau.$$

Эта теплота расходуется на испарение жидкого воздуха. Если за это время испарилась масса $m$, то

$$Q=Lm,$$

где $L$ — удельная теплота парообразования.

Следовательно,

$$m=\frac{Q}{L}=\frac{\dot Q\,\tau}{L}.$$

Окончательно получаем

$$\boxed{m\sim\frac{3pS\tau}{2L}\frac{T_1-T_2}{T_1}\sqrt{\frac{3RT_1}{M}}}.$$

Теперь подставим численные значения:

$$p=0.133\,\text{Па},$$

$$S=600\,\text{см}^2=6.0\times10^{-2}\,\text{м}^2,$$

$$\tau=1\,\text{ч}=3600\,\text{с},$$

$$L=0.2\,\text{МДж/кг}=2.0\times10^5\,\text{Дж/кг},$$

$$T_1=293\,\text{К},\qquad T_2=81\,\text{К},$$

$$M\simeq2.9\times10^{-2}\,\text{кг/моль},$$

$$R=8.31\,\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.$$

Сначала найдём характерную скорость молекул воздуха:

$$v=\sqrt{\frac{3\cdot8.31\cdot293}{2.9\times10^{-2}}}.$$

Отсюда

$$v\approx5.0\times10^2\,\text{м/с}.$$

Теперь найдём мощность теплопередачи:

$$\dot Q\sim\frac32\cdot0.133\cdot6.0\times10^{-2}\cdot5.0\times10^2\cdot\frac{293-81}{293}.$$

Получаем

$$\dot Q\approx4.3\,\text{Вт}.$$

За один час к жидкому воздуху поступит теплота

$$Q\approx4.3\cdot3600.$$

Следовательно,

$$Q\approx1.6\times10^4\,\text{Дж}.$$

Масса испарившегося жидкого воздуха равна

$$m=\frac{1.6\times10^4}{2.0\times10^5}.$$

Отсюда

$$m\approx7.8\times10^{-2}\,\text{кг}.$$

Полученное значение составляет приблизительно $0.08\,\text{кг}$. Однако в задаче требуется именно оценка, а использованная модель теплопередачи определяет результат лишь с точностью до численного коэффициента порядка единицы. Поэтому ответ следует округлить по порядку величины:

$$m\sim10^{-1}\,\text{кг}.$$