← Формулы Савченко

5. Молекулярная физикаФормулы Савченко, глава 5 из 14, 56 формул

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

5.1Тепловое движение частиц

Телесный угол Solid angle

определение 5.1

сферы$$\Omega = \frac{S}{L^2}, \qquad \Omega_{\text{сферы}} = 4\pi$$

S: площадь, вырезаемая на сфере
L: радиус сферы, расстояние до площадки

Телесный угол равен площади, которую конус вырезает на единичной сфере. Полная сфера видна под углом $4\pi$ , полупространство под $2\pi$ . Доля молекул, летящих в сторону далёкой мишени, равна её телесному углу, делённому на $4\pi$ .

Встречается в задачах (8) 2.6.53 5.1.10 6.1.19 9.3.8 9.3.10 9.3.11 9.3.18 10.1.27

Средняя квадратичная скорость Root mean square speed

определение 5.1

кв$$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}$$

попорядкувеличины$\displaystyle v \sim \sqrt{\frac{kT}{m}}\ \text{(по порядку величины)}$

$кв$v_{\text{кв}}$$: корень из среднего квадрата скорости
$\mu$: молярная масса
R: газовая постоянная

Скорость теплового движения молекулы находится из $$m v^2/2 = 3kT/2$$ . Через молярную массу та же формула читается $\sqrt{3RT/\mu}$ , так что лёгкие газы при той же температуре движутся быстрее. Для оценок достаточно $v \sim \sqrt{kT/m}$ .

Встречается в задачах (5) 5.1.3 5.3.3 5.3.8 5.4.16 5.4.19

Истечение через малое отверстие Effusion through a small hole

закон 5.1

\frac{N_1}{N_2} = \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}, \qquad p_1\sqrt{T_2} = p_2\sqrt{T_1}

N₁, N₂: числа молекул, прошедших за секунду
$\mu_1, \mu_2$: молярные массы
T₁, T₂: температуры по обе стороны

Через отверстие, малое по сравнению с длиной свободного пробега, молекулы вылетают независимо друг от друга, и поток пропорционален $$n v$$ , то есть $p/\sqrt{mT}$ . Поэтому лёгкий газ утекает быстрее тяжёлого, а в двух сосудах при разных температурах равновесие наступает при $p_1/\sqrt{T_1} = p_2/\sqrt{T_2}$ , а не при равных давлениях.

Встречается в задачах (4) 5.1.7 5.1.8 5.1.11 5.4.14

Средняя энергия теплового движения Mean energy of thermal motion

закон 5.1

к$$\langle E_{\text{к}} \rangle = \frac{m\langle v^2\rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$$

\displaystyle \frac{m\langle v_x^2\rangle}{2} = \frac{kT}{2}

\displaystyle \langle v^2\rangle = \frac{3kT}{m}

k: постоянная Больцмана
T: абсолютная температура
m: масса молекулы

Температура есть мера средней кинетической энергии хаотического движения. На каждую степень свободы поступательного движения приходится $$kT/2$$ , на три степени $$3kT/2$$ . Это же верно для броуновской частицы и для любого тела в тепловом равновесии, поэтому по $$kT$$ оценивают амплитуду тепловых колебаний маятника или нити.

Встречается в задачах (3) 5.1.3 5.1.4 5.6.9

5.2Распределение молекул газа по скоростям

Функция распределения по скоростям Velocity distribution function

определение 5.2

dN = N f(v)\,dv, \qquad \int_0^\infty f(v)\,dv = 1

$$f(v)$$: плотность вероятности скорости
$$dN$$: число молекул со скоростями от $$v$$ до $$v + dv$$
N: полное число молекул

Доля молекул в интервале скоростей $$dv$$ равна $f(v)\,dv$ , и вся площадь под графиком равна единице. Через $$f$$ считают средние величины и потоки. Если каждую скорость умножить на число $$l$$ , распределение растягивается и нормировка требует множителя $$1/l$$ .

Встречается в задачах (6) 5.2.3 5.2.11 5.2.12 5.2.14 5.8.8 11.5.15

Распределение Больцмана Boltzmann distribution

закон 5.2

n = n_0\,\exp\!\left(-\frac{U}{kT}\right), \qquad n(h) = n_0\,\exp\!\left(-\frac{\mu g h}{RT}\right)

барометрическаяформула$\displaystyle p = p_0 e^{-\mu g h/RT}\ \text{(барометрическая формула)}$

\displaystyle \frac{n_1}{n_2} = \exp\frac{U_2 - U_1}{kT}

U: потенциальная энергия молекулы
n₀: концентрация там, где $$U = 0$$
h: высота

В поле сил концентрация молекул падает с ростом их потенциальной энергии как $e^{-U/kT}$ . В поле тяжести это барометрическая формула, и давление убывает с высотой так же, как концентрация. Отношение концентраций в двух точках зависит только от разности энергий.

Встречается в задачах (5) 5.2.15 5.2.16 5.2.17 5.8.9 5.8.14

Изменение скорости молекулы в поле Velocity change of a molecule in a field

закон 5.2

\Delta v = \frac{F\tau}{m}, \qquad \frac{m v'^2}{2} = \frac{m v^2}{2} - F l

F: сила, действующая на молекулу
$\tau$: время пролёта
l: пройденный против силы путь

Пока молекула летит через область с полем, сила меняет её импульс на $F\tau$ , а работа поля меняет кинетическую энергию. Так молекулярный пучок отклоняется и сортируется по скоростям, в том числе во вращающемся селекторе, где скорость связана с шагом винта и угловой скоростью.

Встречается в задачах (5) 5.2.9 5.2.10 5.2.12 5.2.13 5.2.14

Распределение Максвелла по проекции скорости Maxwell distribution of a velocity component

закон 5.2

f(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\,\exp\!\left(-\frac{m v_x^2}{2kT}\right)

\displaystyle f(v) = 4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-mv^2/2kT}

\displaystyle \alpha = \frac{m}{2kT}

v_x: проекция скорости на ось
m: масса молекулы
T: температура газа

Проекция скорости распределена по Гауссу с дисперсией $$kT/m$$ . Доля молекул с $$v_x$$ выше порога $$b$$ есть интеграл ошибок, и при большом пороге он спадает как $e^{-b^2}$ . По модулю скорости к гауссу добавляется множитель $4\pi v^2$ .

Встречается в задачах (3) 5.2.3 5.2.6 5.2.14

5.3Столкновения молекул. Процессы переноса

Длина свободного пробега Mean free path

закон 5.3

\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\sigma} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}

\displaystyle \lambda = \frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^2 p}

\displaystyle \sigma = \pi d^2 = \pi(r_1 + r_2)^2

n: концентрация молекул
$\sigma$: сечение столкновения
d: эффективный диаметр молекулы

Молекула, летящая сквозь газ, задевает все молекулы в цилиндре сечением $\sigma = \pi d^2$ , так что путь между столкновениями порядка $1/(n\sigma)$ . Множитель $\sqrt{2}$ учитывает, что остальные молекулы тоже движутся и относительная скорость в среднем в $\sqrt{2}$ раз больше. Пробег обратно пропорционален давлению.

Встречается в задачах (9) 3.9.2 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.5 5.3.8 5.3.11 5.4.8

Сечение столкновения и частота столкновений Collision cross-section and collision rate

определение 5.3

\sigma = \pi(r_1 + r_2)^2, \qquad Z = \sqrt{2}\,n\sigma\langle v\rangle

r₁, r₂: радиусы сталкивающихся молекул
Z: число столкновений одной молекулы в секунду
$\langle v\rangle$: средняя скорость

Две молекулы сталкиваются, если их центры сближаются на сумму радиусов, отсюда сечение $\pi(r_1+r_2)^2$ . За секунду молекула проходит путь $$v$$ и задевает $n\sigma v$ соседей, с поправкой $\sqrt{2}$ на их движение. Время между столкновениями равно $\lambda/v$ .

Встречается в задачах (8) 3.9.19 5.3.1 5.3.3 5.3.7 5.3.8 5.3.10 5.3.13 5.4.8

Теплопроводность газа Thermal conductivity of a gas

закон 5.3

q = -\kappa\frac{dT}{dx}, \qquad \kappa = \frac{1}{3}\lambda\langle v\rangle n c_1

независитотдавления$\displaystyle \kappa \sim \frac{1}{r^2\sqrt{\mu}}\ \text{(не зависит от давления)}$

\displaystyle W = \kappa S\frac{\Delta T}{d}

q: плотность потока тепла
$\kappa$: коэффициент теплопроводности
c₁: теплоёмкость одной молекулы, $\frac{i}{2}k$

Молекулы с горячей стороны приносят на площадку больше энергии, чем уносят с холодной, разница набирается на длине пробега. Произведение $n\lambda$ не зависит от давления, поэтому теплопроводность газа от давления не зависит, пока пробег меньше сосуда. Лёгкие газы с малыми молекулами проводят тепло лучше.

Встречается в задачах (6) 5.3.8 5.3.11 5.3.12 5.3.13 5.4.16 5.4.19

Диффузия. Закон Фика Diffusion. Fick's law

закон 5.3

D = \frac{1}{3}\lambda\langle v\rangle, \qquad \frac{dm}{dt} = -D S \frac{d\rho}{dx}

D: коэффициент диффузии
$\lambda$: длина свободного пробега
$d\rho/dx$: градиент плотности переносимого газа

Поток вещества пропорционален градиенту концентрации, и коэффициент пропорциональности по порядку величины равен $\lambda v/3$ . Молекулы с двух сторон площадки прилетают с расстояния в один пробег, унося разницу плотностей. Через $\lambda \propto 1/p$ коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению.

Встречается в задачах (3) 5.3.8 5.3.9 5.3.10

Случайные блуждания Random walk

закон 5.3

\langle L_N^2\rangle = N\lambda^2, \qquad \tau \approx \frac{L^2}{D}

N: число шагов, столкновений
$\lambda$: длина одного шага, свободный пробег
D: коэффициент диффузии

При случайных шагах в независимых направлениях складываются не смещения, а их квадраты, поэтому за $$N$$ шагов молекула уходит на $\lambda\sqrt{N}$ . Отсюда время диффузии на расстояние $$L$$ растёт как $$L^2/D$$ , где $D \sim \lambda v$ . Так оценивают, за сколько запах пересечёт комнату.

Встречается в задачах (1) 5.3.10

5.4Разреженные газы. Взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела

Сопротивление в разреженном газе Drag in a rarefied gas

закон 5.4

т$$F \approx p S v\sqrt{\frac{\mu}{RT}} \sim n m v_{\text{т}} v S$$

p: давление газа
S: площадь сечения тела
v: скорость тела
$\sqrt{RT/\mu}$: тепловая скорость молекул

Когда пробег больше тела, молекулы бьют в него независимо друг от друга. Спереди их налетает больше и с большим импульсом, чем сзади, и разница давлений равна $$p$$ , умноженному на $т$v/v_{\text{т}}$$ по порядку величины. Сила растёт линейно со скоростью, пока тело движется медленнее молекул.

Встречается в задачах (4) 5.4.3 5.4.5 5.4.6 5.4.7

Теплопередача в разреженном газе Heat transfer in a rarefied gas

закон 5.4

q = \frac{i}{2}\,k\,n\,\Delta T\sqrt{\frac{3kT}{m}}

q: поток тепла на единицу площади
n: концентрация молекул
$\Delta T$: разность температур стенок
i: число степеней свободы

Когда пробег больше зазора, молекула летит от стенки к стенке без столкновений и переносит энергию $\frac{i}{2}k\,\Delta T$ за один пролёт. Поток тепла пропорционален концентрации, а значит давлению, в отличие от плотного газа. На этом основан манометр Пирани и работа сосуда Дьюара.

Встречается в задачах (4) 5.4.16 5.4.17 5.4.19 5.4.20

Тепловая эффузия. Радиометрический эффект Thermal transpiration

закон 5.4

\frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}}, \qquad p \approx \frac{F\,T_1}{S(T_2 - T_1)}

p₁, p₂: давления в сосудах
T₁, T₂: температуры сосудов
F: сила на пластинку

Если сосуды соединены отверстием меньше пробега, равновесие означает равенство встречных потоков молекул $n\sqrt{T}$ , а не давлений. Молекулы, отлетающие от горячей стороны пластинки, уносят больше импульса, и в разреженном газе на неё действует сила, по которой измеряют давление.

Встречается в задачах (2) 5.4.13 5.4.14

Момент импульса молекулы у вращающейся стенки Angular momentum of a molecule at a rotating wall

закон 5.4

m\omega r_1^2 = m\omega' r_2^2

r₁, r₂: радиусы внутреннего и внешнего цилиндров
$\omega, \omega'$: угловые скорости цилиндров

Молекула, отлетевшая от вращающейся стенки, уносит её касательную скорость и сохраняет момент импульса на пути до другой стенки. Момент, приносимый молекулами, уравновешивается только при равенстве $\omega r^2$ для обоих цилиндров, и разреженный газ передаёт вращение так, а не по вязкости.

Встречается в задачах (1) 5.4.9

5.5Уравнение состояния идеального газа

Уравнение Менделеева Клапейрона Ideal gas law

закон 5.5

pV = \nu RT = \frac{m}{\mu}RT

\displaystyle p = nkT

\displaystyle \rho = \frac{p\mu}{RT}

p: давление
V: объём
$\nu$: число молей
$\mu$: молярная масса
R: газовая постоянная, $$8{,}31$$ Дж/(моль К)

Уравнение состояния связывает давление, объём и температуру любого количества идеального газа. Оно верно, пока молекулы редко взаимодействуют, то есть для обычных газов при не слишком больших плотностях. Из него следуют все изопроцессы, а для смеси газов оно пишется для каждого газа отдельно.

Давление и концентрация Pressure and number density

закон 5.5

p = nkT, \qquad n = \frac{p}{kT}

законДальтона$\displaystyle p = \sum_i n_i kT\ \text{(закон Дальтона)}$

\displaystyle n = \frac{N}{V}

n: концентрация, число молекул в единице объёма
k: постоянная Больцмана, $1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К

Та же формула состояния в расчёте на одну молекулу. Давление смеси есть сумма давлений компонентов, потому что каждый сорт молекул давит на стенку независимо. Через $$n$$ удобно считать пробег, потоки и число молекул в объёме.

Встречается в задачах (16) 2.5.2 2.5.31 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.8 5.4.8 5.6.3

Равновесие поршня и столба жидкости Equilibrium of a piston or a liquid column

метод 5.5

p = p_0 + \frac{Mg}{S}, \qquad p = p_0 + \rho g h

p₀: атмосферное давление
M: масса поршня или груза
S: площадь поршня
h: высота столба жидкости

Давление газа под поршнем или под столбом жидкости находится из равновесия поршня или столба, а дальше объём и температура из уравнения состояния. Столб ртути или воды в трубке добавляет к атмосферному $\rho g h$ или отнимает его, смотря с какой стороны газ.

Встречается в задачах (14) 4.1.1 4.1.15 4.2.1 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.8 5.5.19

Изохора и изобара. Законы Шарля и Гей-Люссака Isochoric and isobaric processes

закон 5.5

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\ (V = \text{const}), \qquad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\ (p = \text{const})

$V = \text{const}$: изохора, газ заперт в жёстком сосуде
$p = \text{const}$: изобара, поршень свободен или давление задано атмосферой

В жёстком сосуде давление пропорционально абсолютной температуре, под свободным поршнем ей пропорционален объём. Обе прямые на графиках проходят через начало координат в шкале Кельвина, и по ним легко пересчитывать состояния.

Встречается в задачах (9) 5.5.8 5.5.16 5.5.33 5.6.12 5.6.17 5.6.18 5.6.24 5.6.26

Плотность газа Density of a gas

закон 5.5

\rho = \frac{p\mu}{RT}

$\rho$: плотность газа
$\mu$: молярная масса

Из $pV = \frac{m}{\mu}RT$ плотность пропорциональна давлению и молярной массе и обратно пропорциональна температуре. При одном давлении и температуре плотности газов относятся как молярные массы. Так считают подъёмную силу воздушного шара и массу газа в баллоне.

Встречается в задачах (8) 5.4.8 5.5.27 5.5.29 5.5.31 5.5.33 5.7.9 5.8.14 5.10.15

Изотермический процесс. Закон Бойля Мариотта Isothermal process. Boyle's law

закон 5.5

pV = \text{const}, \qquad p_1V_1 = p_2V_2

p: давление
V: объём

При постоянной температуре произведение давления на объём данной массы газа не меняется. Так ведёт себя воздух в трубке, запертой столбом ртути или воды, при медленном перемещении, когда тепло успевает отводиться.

Встречается в задачах (7) 5.5.2 5.5.4 5.5.6 5.5.19 5.6.18 6.5.2 6.6.1

Молярные массы газов Molar masses of gases

значение 5.5

воздгмоль$$\mu_{\text{возд}} = 29\ \text{г/моль}, \quad \mu_{\text{H}_2} = 2, \quad \mu_{\text{He}} = 4, \quad \mu_{\text{H}_2\text{O}} = 18$$

$возд$\mu_{\text{возд}}$$: воздух
$\mu_{\text{H}_2}$: водород
$\mu_{\text{He}}$: гелий
$\mu_{\text{H}_2\text{O}}$: водяной пар

Молярная масса в граммах на моль численно равна относительной молекулярной массе. У воздуха она 29, у азота 28, у кислорода 32, у углекислого газа 44. В формулы СИ подставляют килограммы на моль.

Встречается в задачах (7) 5.3.8 5.3.11 5.4.17 5.5.31 5.6.21 5.6.25 5.10.15

Подъёмная сила шара с газом Lift of a gas balloon

закон 5.5

воздгазавоздгаза$$F = (\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{газа}})gV = \frac{p V g}{RT}(\mu_{\text{возд}} - \mu_{\text{газа}})$$

$возд$\rho_{\text{возд}}$$: плотность окружающего воздуха
$газа$\rho_{\text{газа}}$$: плотность газа в оболочке
V: объём шара

Шар поднимает архимедова сила за вычетом веса газа внутри, и обе они выражаются через плотности при одном давлении, то есть через молярные массы. Оболочка добавляет свой вес, поэтому у маленького шара он перевешивает и есть наименьший радиус. Горячий воздух легче холодного при том же давлении.

Встречается в задачах (4) 4.2.23 5.5.27 5.5.29 5.5.31

Количество вещества Amount of substance

определение 5.5

\nu = \frac{m}{\mu} = \frac{N}{N_A}

$\nu$: число молей
$\mu$: молярная масса
N_A: число Авогадро, $6{,}02\cdot10^{23}$ 1/моль

Моль содержит $$N_A$$ молекул и имеет массу $\mu$ . Газовая постоянная и постоянная Больцмана связаны через $$R = kN_A$$ . У смеси газов молярная масса есть полная масса, делённая на полное число молей.

Встречается в задачах (3) 5.6.2 5.6.21 5.8.9

Объединённый газовый закон Combined gas law

закон 5.5

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}

p₁, V₁, T₁: параметры в первом состоянии
p₂, V₂, T₂: во втором

Для постоянной массы газа $$pV/T$$ одно и то же во всех состояниях, потому что справа в уравнении состояния стоит $\nu R$ . Изопроцессы получаются, когда один из параметров не меняется.

Встречается в задачах (2) 5.5.1 5.5.5

5.6Первое начало термодинамики. Теплоемкость

Работа газа Work done by a gas

определение 5.6

A = \int p\,dV, \qquad A = p\,\Delta V\ (p = \text{const})

изобара$\displaystyle A = \nu R\,\Delta T\ \text{(изобара)}$

линейныйпроцесс$\displaystyle A = \frac{(p_1 + p_2)(V_2 - V_1)}{2}\ \text{(линейный процесс)}$

адиабата$\displaystyle A = \frac{\nu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}\ \text{(адиабата)}$

A: работа газа над внешними телами
p: давление газа
$$dV$$: приращение объёма

Работа газа равна площади под процессом на диаграмме $$pV$$ , положительна при расширении. На изобаре она равна $p\Delta V = \nu R\Delta T$ , на прямолинейном процессе площади трапеции, в цикле площади внутри замкнутой кривой. Работа внешних сил над газом равна ей по величине и противоположна по знаку.

Встречается в задачах (17) 4.3.20 5.6.8 5.6.10 5.6.11 5.6.12 5.6.14 5.6.15 5.6.16

Первое начало термодинамики First law of thermodynamics

закон 5.6

Q = \Delta U + A

\displaystyle \delta Q = dU + p\,dV

\displaystyle \Delta U = Q - A

Q: подведённое к газу тепло
$\Delta U$: изменение внутренней энергии
A: работа, совершённая газом

Тепло, полученное системой, идёт на рост её внутренней энергии и на работу против внешних сил. Знаки важны, у идеального газа $\Delta U$ зависит только от температуры, а работа от пути на диаграмме $$pV$$ . В адиабатном процессе $$Q = 0$$ и работа совершается за счёт внутренней энергии.

Встречается в задачах (14) 5.6.9 5.6.11 5.6.14 5.6.17 5.6.19 5.6.21 5.6.24 5.6.26

Внутренняя энергия идеального газа Internal energy of an ideal gas

закон 5.6

U = \frac{i}{2}\nu RT = \nu C_V T

\displaystyle \Delta U = \frac{i}{2}\nu R\,\Delta T

\displaystyle U = \frac{i}{2}pV

намолекулу$\displaystyle \varepsilon = \frac{i}{2}kT\ \text{(на молекулу)}$

i: число степеней свободы, 3 у одноатомного, 5 у двухатомного газа
$\nu$: число молей
C_V: молярная теплоёмкость при постоянном объёме

Внутренняя энергия идеального газа есть сумма кинетических энергий молекул, на каждую степень свободы по $$kT/2$$ . Она зависит только от температуры, а не от объёма или давления, и потому её изменение в любом процессе равно $\nu C_V\Delta T$ . Через уравнение состояния $U = \frac{i}{2}pV$ .

Встречается в задачах (14) 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.9 5.6.11 5.6.14 5.6.17 5.6.19

Показатель адиабаты Adiabatic exponent

определение 5.6

\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}

$\gamma$: показатель адиабаты
i: число степеней свободы, 3 или 5

Отношение теплоёмкостей входит в уравнение адиабаты и в скорость звука. У одноатомного газа $\gamma = 5/3$ , у двухатомного $$7/5$$ . Через $\gamma$ внутренняя энергия записывается как $pV/(\gamma-1)$ .

Встречается в задачах (10) 5.4.16 5.6.1 5.6.2 5.6.17 5.6.19 5.6.22 5.6.23 5.7.9

Теплота нагревания. Уравнение теплового баланса Heat of warming. Heat balance

закон 5.6

Q = cm\,\Delta T, \qquad \sum Q_i = 0

отдпол$\displaystyle Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$

смешение$\displaystyle T = \frac{c_1m_1T_1 + c_2m_2T_2}{c_1m_1 + c_2m_2}\ \text{(смешение)}$

c: удельная теплоёмкость
m: масса тела
$\Delta T$: изменение температуры

Тепло, нужное для нагрева тела, пропорционально массе и изменению температуры. В теплоизолированной системе тепло, отданное одними телами, равно теплу, полученному другими, и это уравнение вместе с теплотами фазовых переходов решает все задачи о смешении. Если нагреватель даёт постоянную мощность, тепло пропорционально времени.

Встречается в задачах (10) 5.6.14 5.6.26 5.9.1 5.9.3 5.9.6 5.9.10 5.10.1 5.10.25

Работа при изотермическом процессе Work in an isothermal process

закон 5.6

A = \nu RT\ln\frac{V_2}{V_1} = \nu RT\ln\frac{p_1}{p_2}

V₁, V₂: начальный и конечный объёмы
T: температура процесса

На изотерме $p = \nu RT/V$ , и интеграл $\int p\,dV$ даёт логарифм отношения объёмов. Внутренняя энергия не меняется, так что всё подведённое тепло превращается в работу. При сжатии работа газа отрицательна.

Встречается в задачах (8) 2.6.28 5.6.10 5.6.15 5.6.16 5.6.22 5.8.9 5.8.10 5.9.10

Теплоёмкости идеального газа. Соотношение Майера Heat capacities of an ideal gas. Mayer's relation

закон 5.6

C_V = \frac{i}{2}R, \qquad C_p = C_V + R = \frac{i+2}{2}R

\displaystyle Q_p = \nu C_p\,\Delta T, \qquad Q_V = \nu C_V\,\Delta T

\displaystyle C_V = \frac{R}{\gamma - 1}

C_V: молярная теплоёмкость при постоянном объёме
C_p: при постоянном давлении
i: число степеней свободы

При постоянном объёме всё тепло идёт во внутреннюю энергию, при постоянном давлении ещё и на работу $R\,\Delta T$ на моль, отсюда разность $$C_p - C_V = R$$ . У одноатомного газа $C_V = \frac{3}{2}R$ , у двухатомного $\frac{5}{2}R$ . Теплоёмкость единицы массы равна молярной, делённой на $\mu$ .

Встречается в задачах (8) 5.6.5 5.6.17 5.6.21 5.6.24 5.6.25 5.6.31 5.9.5 5.9.10

Уравнение адиабаты Adiabatic equation

закон 5.6

pV^\gamma = \text{const}, \qquad TV^{\gamma-1} = \text{const}

\displaystyle T p^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{const}

\displaystyle A = \frac{\nu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = -\Delta U

$\gamma$: показатель адиабаты $$C_p/C_V$$

Без теплообмена $\nu C_V\,dT = -p\,dV$ , и вместе с уравнением состояния это даёт $pV^\gamma = \text{const}$ . Адиабата круче изотермы, при адиабатном сжатии газ нагревается. Процесс адиабатен, когда он быстрый или сосуд теплоизолирован, а работа равна убыли внутренней энергии.

Встречается в задачах (8) 5.6.11 5.6.19 5.6.21 5.6.22 5.9.4 5.9.10 6.3.9 7.3.15

Газ под поршнем. Нагрев и работа Gas under a piston. Heating and work

метод 5.6

Q = \nu C_V\Delta T + p\,\Delta V, \qquad p = p_0 + \frac{F}{S}

F: сила, приложенная к поршню, трение или груз
S: площадь поршня
p₀: атмосферное давление

Пока поршень стоит, газ греется при постоянном объёме, а когда сила газа превысит трение и атмосферу, он идёт изобарно при давлении $$p_0 + F/S$$ . Тепло делится на рост внутренней энергии, работу против атмосферы, подъём груза и трение, причём тепло от трения поршня о стенки может частью вернуться в газ.

Встречается в задачах (5) 5.6.17 5.6.22 5.6.26 5.6.31 6.5.2

Работа за цикл Work over a cycle

метод 5.6

циклподвотд$$A_{\text{цикл}} = \oint p\,dV = Q_{\text{подв}} - Q_{\text{отд}}$$

$цикл$A_{\text{цикл}}$$: работа газа за цикл, площадь внутри петли на диаграмме $$pV$$
$подв$Q_{\text{подв}}$$: тепло, полученное от нагревателя
$отд$Q_{\text{отд}}$$: тепло, отданное холодильнику

За цикл внутренняя энергия возвращается к прежнему значению, поэтому работа равна разности полученного и отданного тепла и площади петли. Работу считают по участкам, тепло на каждом по первому началу с нужным знаком. У цикла из двух изобар и двух изохор в углах связаны температуры $$T_2^2 = T_1T_3$$ .

Встречается в задачах (5) 2.3.6 4.2.23 5.6.14 5.6.18 5.9.14

Политропа Polytropic process

закон 5.6

pV^n = \text{const}, \qquad C = C_V + \frac{R}{1-n}

газподпружиной$\displaystyle C = 2\nu R\ \text{(газ под пружиной, }p \propto V)$

изобараизотермаадиабатаизохора$\displaystyle n = 0, 1, \gamma, \infty\ \text{(изобара, изотерма, адиабата, изохора)}$

n: показатель политропы
C: теплоёмкость газа в этом процессе

Любой процесс с постоянной теплоёмкостью есть политропа, и наоборот. Теплоёмкость находят, записав первое начало для малого шага процесса и разделив на $$dT$$ . Так у газа под пружинным поршнем, где $p \propto V$ , теплоёмкость $2\nu R$ для одноатомного газа.

Встречается в задачах (4) 5.6.12 5.6.28 5.6.29 5.6.30

Адиабатический градиент температуры в атмосфере Adiabatic lapse rate

закон 5.6

\frac{dT}{dz} = -\frac{\mu g}{C_p}

z: высота
$\mu$: молярная масса воздуха
C_p: молярная теплоёмкость при постоянном давлении

Поднимающийся объём воздуха расширяется адиабатно, потому что теплообмен с окружением медленный, и охлаждается. С $dp = -\rho g\,dz$ и адиабатой в форме $\nu C_p\,dT = V\,dp$ получается падение примерно на градус на сто метров. Так оценивают температуру на вершине горы и высоту облаков.

Встречается в задачах (1) 5.6.21

5.7Истечение газа

Скорость истечения газа Gas outflow speed

закон 5.7

v = \sqrt{\frac{2C_pT}{\mu}} = \sqrt{\frac{2\gamma RT}{(\gamma-1)\mu}}

T: температура газа в сосуде
C_p: молярная теплоёмкость при постоянном давлении
$\mu$: молярная масса

Наибольшая скорость струи получается, когда вся энтальпия газа в сосуде переходит в кинетическую энергию, то есть при истечении в пустоту. При истечении в среду с давлением $$p_2$$ множитель $1 - (p_2/p_1)^{(\gamma-1)/\gamma}$ уменьшает результат. Тяга ракеты равна расходу массы на скорость истечения.

Встречается в задачах (5) 5.7.1 5.7.2 5.7.4 5.7.5 5.7.6

Уравнение Бернулли для газа Bernoulli's equation for a gas

закон 5.7

\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gh = \text{const}

\displaystyle c_pT + \frac{v^2}{2} = \text{const}

энтальпияединицымассы$\displaystyle H = u + \frac{p}{\rho}\ \text{(энтальпия единицы массы)}$

$p, \rho$: давление и плотность газа
v: скорость течения
$\gamma$: показатель адиабаты

Для стационарного течения без теплообмена сохраняется сумма кинетической энергии единицы массы и её энтальпии $u + p/\rho$ , где работа проталкивания $p/\rho$ добавлена к внутренней энергии. Для идеального газа энтальпия равна $$c_pT$$ , так что нагрев струи и её разгон обмениваются друг на друга.

Встречается в задачах (1) 5.7.9

Поток массы и импульса в струе Mass and momentum flux in a jet

закон 5.7

\rho v S = \rho' v' S', \qquad F = \rho v S\,(v' - v)

$\rho v S$: массовый расход через сечение $$S$$
$$v, v'$$: скорости до и после участка
F: сила, действующая на газ на участке

В стационарной струе через каждое сечение в секунду проходит одна и та же масса. Приращение импульса этой массы в секунду равно сумме сил, включая разность давлений $$pS$$ на концах участка. Вместе с уравнением энергии это даёт течение с подводом тепла.

Встречается в задачах (1) 5.7.9

5.8Вероятность термодинамического состояния

Вероятность независимых событий Probability of independent events

закон 5.8

p = p_1 p_2 \cdots p_N, \qquad p = \left(\frac{1}{2}\right)^N

p_i: вероятности отдельных независимых событий
N: число молекул или испытаний

Вероятность того, что несколько независимых событий произойдут вместе, есть произведение их вероятностей. Одна молекула оказывается в половине сосуда с вероятностью $$1/2$$ , все $$N$$ сразу с вероятностью $2^{-N}$ , и за время наблюдения $\tau$ такое состояние длится в среднем $\tau\,2^{-N}$ . Для макроскопического $$N$$ это никогда.

Встречается в задачах (8) 3.5.16 5.8.1 5.8.2 5.8.3 5.8.4 5.8.9 5.8.12 5.8.15

Формула Больцмана для энтропии Boltzmann's entropy formula

закон 5.8

S = k\ln\Omega, \qquad \Omega \propto V^N T^{\frac{i}{2}N}

S: энтропия
$\Omega$: число микросостояний, статистический вес
k: постоянная Больцмана

Энтропия есть логарифм числа способов, которыми можно осуществить макросостояние. У идеального газа это число растёт как $$V^N$$ по координатам и как $T^{iN/2}$ по импульсам, поэтому система идёт к состоянию с наибольшим статистическим весом. Через $k\ln\Omega$ термодинамическое $\Delta S = Q/T$ получает смысл.

Встречается в задачах (6) 3.1.4 5.4.19 5.8.13 5.8.14 5.8.15 5.8.16

Поток молекул через площадку Molecular flux through a surface

закон 5.8

dN = n f(v)\,v\,S\,dt\,dv, \qquad j \sim \frac{1}{4}n\langle v\rangle

n: концентрация
$$f(v)$$: распределение по скоростям
S: площадь площадки

За время $$dt$$ площадку $$S$$ пересекают молекулы из цилиндра высотой $v\,dt$ , и в потоке быстрые молекулы представлены с большим весом, чем в объёме. Для оценок поток через единицу площади берут как $$n v/4$$ или, грубее, $$n v/6$$ . Так считают истечение через малое отверстие и скорость молекул, прошедших в соседний сосуд.

Встречается в задачах (3) 5.3.8 5.4.8 5.8.8

Число способов и биномиальная вероятность Combinations and binomial probability

закон 5.8

C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad P_k = C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}

$$C_n^k$$: число способов выбрать $$k$$ предметов из $$n$$
p: вероятность одного события

Число способов, которыми $$k$$ молекул из $$n$$ могут оказаться в выделенной части, равно биномиальному коэффициенту, и вероятность такого состояния равна ему, умноженному на вероятность одной конкретной расстановки. Самые вероятные состояния те, у которых способов больше всего, то есть с равным делением.

Встречается в задачах (1) 5.8.2

5.9Второе начало термодинамики

Изменение энтропии Entropy change

определение 5.9

\Delta S = \int_1^2\frac{\delta Q}{T}, \qquad \Delta S = C\ln\frac{T_2}{T_1}

\displaystyle \Delta S = \nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1} + \nu R\ln\frac{V_2}{V_1}

фазовыйпереход$\displaystyle \Delta S = \frac{\lambda m}{T}\ \text{(фазовый переход)}$

$\delta Q$: тепло, полученное на малом шаге
T: температура, при которой оно получено
C: теплоёмкость тела

Энтропия есть функция состояния, её изменение считают по любому обратимому пути между теми же состояниями, деля каждую порцию тепла на температуру. При нагреве тела с постоянной теплоёмкостью выходит логарифм отношения температур, при фазовом переходе $\lambda m/T$ . У идеального газа энтропия зависит от $$T$$ и $$V$$ .

Встречается в задачах (9) 5.8.13 5.9.1 5.9.2 5.9.3 5.9.5 5.9.6 5.9.8 5.9.14

КПД тепловой машины. Теорема Карно Efficiency of a heat engine. Carnot's theorem

закон 5.9

\eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \le 1 - \frac{T_2}{T_1}

К$\displaystyle \eta_{\text{К}} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$

холодильниктепловойнасос$\displaystyle A_{\max} = Q_2\left(\frac{T_1}{T_2} - 1\right)\ \text{(холодильник, тепловой насос)}$

$\eta$: коэффициент полезного действия
A: работа за цикл
Q₁: тепло от нагревателя
Q₂: тепло, отданное холодильнику
T₁, T₂: температуры нагревателя и холодильника

КПД любой машины между двумя температурами не больше, чем у цикла Карно, $$1 - T_2/T_1$$ , и равен ему только для обратимой машины. Обратный цикл Карно есть идеальный холодильник или тепловой насос, у него тепло, перекачанное на работу $$A$$ , равно $A\,T_2/(T_1 - T_2)$ . Для реального цикла КПД считают по теплу на каждом участке.

Встречается в задачах (7) 5.9.10 5.9.13 5.9.14 5.9.17 5.9.20 5.9.21 5.9.22

Второе начало термодинамики Second law of thermodynamics

закон 5.9

сист$$\Delta S_{\text{сист}} \ge 0, \qquad \frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} \ge 0$$

неравенствоКлаузиуса$\displaystyle \oint\frac{\delta Q}{T} \le 0\ \text{(неравенство Клаузиуса)}$

конобратимоевыравниваниедвуходинаковыхтел$\displaystyle T_{\text{кон}} = \sqrt{T_1T_2}\ \text{(обратимое выравнивание двух одинаковых тел)}$

$сист$\Delta S_{\text{сист}}$$: изменение энтропии замкнутой системы
Q₁, T₁: тепло, взятое у нагревателя, и его температура
Q₂, T₂: тепло, отданное холодильнику, и его температура

Энтропия замкнутой системы не убывает, в обратимом процессе она постоянна. Отсюда тепло само не переходит от холодного к горячему, а обратимая машина отдаёт холодильнику не меньше $$Q_1 T_2/T_1$$ . Условие $\Delta S = 0$ даёт наибольшую работу, которую можно получить от двух тел, и их конечную температуру $\sqrt{T_1T_2}$ .

Встречается в задачах (6) 5.6.18 5.9.14 5.9.16 5.9.17 5.9.19 5.9.23

5.10Фазовые переходы

Теплота фазового перехода Latent heat

закон 5.10

плавлениеиспарение$$Q = \lambda m\ \text{(плавление)}, \qquad Q = L m\ \text{(испарение)}$$

$\lambda$: удельная теплота плавления, у льда $3{,}3\cdot10^5$ Дж/кг
L: удельная теплота парообразования, у воды $2{,}3\cdot10^6$ Дж/кг
m: масса перешедшего вещества

При плавлении и кипении температура не меняется, а подведённое тепло идёт на разрыв связей и пропорционально массе. В уравнении теплового баланса эти слагаемые стоят рядом с $cm\,\Delta T$ . Обратные переходы, кристаллизация и конденсация, отдают ту же теплоту.

Встречается в задачах (12) 5.9.2 5.9.6 5.9.13 5.9.16 5.9.17 5.9.23 5.10.1 5.10.2

Давление пара и влажность Vapour pressure and humidity

закон 5.10

атмвоздпарапарапара$$p_{\text{атм}} = p_{\text{возд}} + p_{\text{пара}}, \qquad \rho_{\text{пара}} = \frac{\mu p_{\text{пара}}}{RT}$$

$пара$p_{\text{пара}}$$: парциальное давление пара
$пара$\rho_{\text{пара}}$$: плотность пара, у насыщенного зависит только от температуры
$\phi$: относительная влажность, $нас$p/p_{\text{нас}}$$

Пар в смеси с воздухом ведёт себя как идеальный газ со своим парциальным давлением, и полное давление есть их сумма. Насыщенный пар над жидкостью имеет давление, зависящее только от температуры, при сжатии он конденсируется, а не растёт в давлении. Влажность есть доля от насыщения.

Встречается в задачах (7) 5.6.8 5.6.27 5.9.22 5.9.23 5.10.15 5.10.24 14.4.5

Давление пара над каплей. Формула Лапласа Vapour pressure over a drop. Laplace pressure

закон 5.10

p = p_0 + \frac{2\sigma}{r}, \qquad \frac{p_r}{p_\infty} = \exp\frac{2\sigma\mu}{\rho R T r}

$\sigma$: поверхностное натяжение
r: радиус капли или пузырька
p₀: давление снаружи, для пузырька внутри плёнки $4\sigma/r$

Изогнутая поверхность давит на жидкость под ней с добавкой $2\sigma/r$ , у пузыря с двумя поверхностями $4\sigma/r$ . Из-за этого над маленькой каплей давление насыщенного пара выше, чем над плоской поверхностью, и мелкие капли испаряются, а крупные растут. Показатель экспоненты равен работе против лапласова давления на моль, делённой на $$RT$$ .

Встречается в задачах (5) 4.5.19 4.6.4 5.5.33 5.10.30 5.10.31

Испарение при подводе мощности Evaporation under a supplied power

метод 5.10

P\,dt = \lambda\,dm, \qquad \tau = \frac{\lambda m}{P}

P: мощность нагревателя, поглощённая мощность
$\lambda$: удельная теплота перехода
m: испарившаяся или расплавившаяся масса

При постоянной подводимой мощности тепло пропорционально времени, и за время нагрева до кипения и за время выкипания одной и той же массы стоят $cm\,\Delta T$ и $$Lm$$ . Отношение этих времён даёт отношение теплот, так по кухонному чайнику находят теплоту парообразования. Мощность, уходящая на испарение, равна $\lambda\,dm/dt$ .

Встречается в задачах (4) 5.9.13 5.10.1 5.10.2 5.10.4

5.11Тепловое излучение

Давление света Radiation pressure

закон 5.11

изотропноеизлучение$$p = \frac{I}{c}(1 + \rho), \qquad p = \frac{u}{3}\ \text{(изотропное излучение)}$$

зеркало$\displaystyle F = \frac{2IS}{c}\ \text{(зеркало)}$

чёрнаяпластинкауточечногоисточника$\displaystyle F = \frac{\Phi S}{4\pi r^2 c}\ \text{(чёрная пластинка у точечного источника)}$

I: интенсивность, мощность на единицу площади
$\rho$: коэффициент отражения, 0 у чёрного, 1 у зеркала
u: плотность энергии излучения

Излучение несёт импульс $$E/c$$ , и поглощающая стенка получает давление $$I/c$$ , зеркало вдвое больше, потому что отражённый свет уносит столько же импульса назад. В сосуде с изотропным излучением на стенку приходится треть плотности энергии, как у газа. Так сравнивают силу светового давления Солнца с тяготением для пылинок.

Встречается в задачах (8) 5.11.15 5.11.16 5.11.17 12.1.21 12.1.23 12.1.26 14.5.11 14.5.24

Закон Стефана Больцмана Stefan Boltzmann law

закон 5.11

ВтмК$$\Phi = \varepsilon\sigma S T^4, \qquad \sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\,\text{К}^4}$$

плотностьэнергииравновесногоизлучения$\displaystyle u = \frac{4\sigma}{c}T^4\ \text{(плотность энергии равновесного излучения)}$

обменмеждутелами$\displaystyle \Phi = \sigma S(T_1^4 - T_2^4)\ \text{(обмен между телами)}$

$\Phi$: мощность излучения
$\varepsilon$: степень черноты, 1 у чёрного тела
S: площадь поверхности
T: температура тела

Чёрное тело излучает с единицы поверхности мощность $\sigma T^4$ , серое в $\varepsilon$ раз меньше и во столько же раз меньше поглощает. Тело в окружении поглощает $\sigma T_0^4$ от стенок, так что чистый поток пропорционален $$T^4 - T_0^4$$ . Экран между горячим и холодным телами делит поток пополам, в равновесии его температура $T/\sqrt[4]{2}$ .

Встречается в задачах (5) 5.11.1 5.11.3 5.11.11 5.11.13 5.11.14

Интенсивность точечного источника Intensity of a point source

закон 5.11

I = \frac{\Phi}{4\pi R^2}

равновеснаятемпературанарасстоянии$\displaystyle T = T_\odot\sqrt{\frac{R_\odot}{2L}}\ \text{(равновесная температура на расстоянии }L)$

$\Phi$: полная мощность источника
R: расстояние до источника
I: мощность на единицу площади поперёк лучей

Мощность источника расходится по сфере площадью $4\pi R^2$ , поэтому интенсивность падает как квадрат расстояния. Отсюда равновесная температура планеты или пылинки, у которой поглощённая мощность $I\pi r^2$ равна излучённой $\sigma T^4\cdot4\pi r^2$ , и зависит только от расстояния, а не от размера.

Встречается в задачах (4) 5.11.16 5.11.17 12.1.24 13.4.1