Молекулярная физика > Вероятность термодинамического состояния > Задача 5.8.16

Условие

$5.8.16.$ Газодинамическое ружье представляет собой цилиндр, наполненный одноатомным газом и закрытый подвижным поршнем. Газ, расширяясь, разгоняет поршень. Реален ли процесс, когда при увеличении объема газа в $n$ раз его температура уменьшается в $n$ раз? в $\sqrt{n}$ раз? Система изолирована.

Решение

Решение данной задачи будет опираться на решение задачи $5.8.15.$ Согласно второму закону термодинамики в статистической форме, в изолированной системе могут протекать только те процессы, которые ведут к сохранению или увеличению термодинамической вероятности состояния $W_{кон}\ge W_{нач}$.

Согласно полученной формулы для термодинамической вероятности состояния газа в задаче $5.8.15.$:

$$W\sim V^{N}\cdot T^{\frac{i}{2}N}$$

Поскольку газ является одноатомным, число его степеней свободы составляет $i=3$, тогда:

$$W\sim V^{N}\cdot T^{\frac{3}{2}N} \tag{1}$$

Для первого вопроса $V_{кон}=nV_{нач}$ и $T_{кон}=\frac{1}{n}\cdot T_{нач}$. Подставим в (1) и найдём отношение термодинамических вероятностей:

$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}=\left( \frac{V_{кон}}{V_{нач}} \right)^{N}\cdot\left( \frac{T_{кон}}{T_{нач}} \right)^{\frac{3}{2}N}=n^{N}\cdot n^{-\frac{3}{2}N}=\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{N} \tag{2}$$

Так как по условию задачи газ расширяется, то $n\gt 1$, следовательно:

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\lt 1\Longrightarrow \frac{W_{кон}}{W_{нач}}\ll 1\Longrightarrow W_{кон}\ll W_{нач}$$

Термодинамическая вероятность системы уменьшается, что строго противоречит второму закону термодинамики. Данный самопроизвольный процесс нереален.

Для второго вопроса $V_{кон}=nV_{нач}$ и $T_{кон}=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot T_{нач}$. Подставим в (1) и найдём отношение термодинамических вероятностей:

$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}=\left( \frac{V_{кон}}{V_{нач}} \right)^{N}\cdot\left( \frac{T_{кон}}{T_{нач}} \right)^{\frac{3}{2}N}=n^{N}\cdot n^{-\frac{3}{4}N}=n^{\frac{1}{4}N} \tag{3}$$

Поскольку $n\gt 1$, то:

$$n^{\frac{1}{4}N}\gt 1\Longrightarrow \frac{W_{кон}}{W_{нач}}\gg 1\Longrightarrow W_{кон}\gg W_{нач}$$

Термодинамическая вероятность системы возрастает, что полностью соответствует второму закону термодинамики. Данный самопроизвольный процесс реален.

Ответ

Нереален. Реален.