Движение заряженных частиц в электрическом поле > Движение в постоянном электрическом поле > Задача 7.1.13

Условие

$7.1.13.$ Электрон, двигаясь прямолинейно, попадает в электрическое поле, потенциал которого имеет вид, показанный на рисунке. В точке $B$ электрон вылетает из поля. Изменится ли скорость частицы в точке $B$ и время пролета расстояния $AB$, если вместо электрона полетит позитрон?

Решение

Движение электрона

Пусть частицы двигаются по оси $x$. Если входит электрон, то при продвижении от точки $A$ к $B$ до точки с максимальным потенциалом он ускоряется, так как потенциальная энергия $W$ взаимодействия электрона и поля уменьшается:

$$
W=e\varphi,
$$

где $e$ есть заряд электрона (он отрицательный).

Ускорение электрона объясняется принципом минимума потенциальной энергии, который гласит, что система стремится прийти в состояние с минимальной потенциальной энергией.

Электрон без проблем доходит до точки с максимальным потенциалом $\varphi_\text{max}\equiv\varphi_0$; далее электрон тормозится, так как $W$ будет расти (опять в соответствии с принципом минимума).

После точки с $\varphi_\text{max}$ электрон тормозится так, что в каждой следующей точке его кинетическая энергия больше той, что была в точке $A$, так как по формуле работы поля

$$
A=e\left(\varphi_A-\varphi\right)
$$

эта работа остается положительной, значит положительно и приращение кинетической энергии относительно точки $A$. Это объясняет то, что электрон не остановится.

Он доходит до точки $B$ гарантированно и работа поля относительно точки $A$ равна

$$
A_\text{AB}=e\left(\varphi_A-\varphi_B\right)=0.\tag{1}
$$

Откуда следует, что нет изменения кинетической энергии в точке $B$ относительно точки $A$. То есть скорость в точке $B$ равна скорости в точке $A$.

Движение позитрона

Позитрон есть античастица электрона, отличается для нас тем, что заряд позитрона положительный ($e^+$).

Из предыдущих рассуждений ясно, что позитрон сначала тормозится, то есть при переходе от точки $A$ к точке с $\varphi_\text{max}$ его кинетическая энергия уменьшается (этот участок обозначим $1$). Изменение $\Delta K_1$ кинетической энергии равно работе поля $A_1$ относительно точки $A$:

$$
\Delta K_1=A_1=e^+\left(\varphi_A-\varphi_1\right),
$$

где $\varphi_1$ есть потенциал поля в произвольной точке на участке 1.

Видим, что при переходе от точки $A$ к точке с $\varphi_\text{max}$ поле гарантированно дает спад кинетической энергии

$$
\Delta K^*_1=e^+\left(\varphi_A-\varphi_\text{max}\right)=-e^+\varphi_0,
$$

поэтому если кинетическая энергия $K_A$ в точке $A$ меньше, чем $e^+\varphi_0$, то позитрон остановится до точки с $\varphi_\text{max}$ и далее пойдет обратно в точку $A$. В точке $B$ в таком случае он не окажется.

Но если $K_A>\Delta K_1^*=-e^+\varphi_0$, то он дойдет до точки с $\varphi_\text{max}$ и далее начнет разгоняться и гарантированно дойдет до точки $B$.

Если доходит до $B$, то по формуле $(1)$ его скорость такая же, как в точке $A$.

Сравним времена движения частиц от точки $A$ до точки $B$ графически. На диаграмме $v(t)$ график скорости электрона лежит выше графика скорости позитрона. Это значит что для прохождения фиксированного пути (то есть для заметания фиксированной площади под графиком скорости!) графику электрона понадобится меньше времени, чем графику позитрона.

Ответ

Скорость не изменится, а время пролета позитрона будет больше. Позитрон может
вообще не долететь до точки $B$, если его начальная кинетическая энергия $K_0$ будет меньше $e\varphi_0$.