Движение заряженных частиц в электрическом поле > Взаимодействие заряженных частиц > Задача 7.4.3

Условие

$7.4.3.$ В углах правильного квадрата со стороной $a$ по диагонали поместили два протона и два позитрона. Оцените отношение скоростей протонов и позитронов на бесконечности. Масса протона в 1840 раз больше массы позитрона, а заряды одинаковы.

Решение

Так как масса протона $M$ значительно превышает массу позитрона $m$ ($M=1840m$) для оценки можно считать, что легкие позитроны успеют уйти далеко, прежде чем протоны сдвинутся с места. А потом оставшиеся протоны начинают разлетаться под действием взаимного отталкивания.

Начальная потенциальная энергия системы:

$$U_{н}=4\cdot\frac{ke^{2}}{a}+2\cdot\frac{ke^{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{ke^{2}}{a}(4+\sqrt{2})$$

Когда позитроны улетают на бесконечность, протоны остаются на исходном расстоянии $a\sqrt{2}$. Потенциальная энергия их взаимодействия:

$$U_{к}=\frac{ke^{2}}{a\sqrt{2}}$$

Кинетическая энергия двух позитронов равна потере потенциальной энергии системы:

$$2\cdot\frac{m\upsilon_{e}^{2}}{2}=U_{н}-U_{к}=\frac{ke^{2}}{a}\left( 4+\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \tag{1}$$

Оставшаяся энергия $U_{к}$ целиком переходит в кинетическую энергию разлетающихся протонов:

$$2\cdot\frac{M\upsilon_{p}^{2}}{2}=U_{к}=\frac{ke^{2}}{a}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \tag{2}$$

Разделим уравнения (1) и (2) друг на друга:

$$\frac{M\upsilon_{p}^{2}}{m\upsilon_{e}^{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8+\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}+1}$$

Отсюда:

$$\frac{\upsilon_{p}}{\upsilon_{e}}=\sqrt{\frac{m}{M}\cdot \frac{1}{4\sqrt{2}+1}}$$

Подставив отношение масс, получим:

$$\frac{\upsilon_{p}}{\upsilon_{e}}\approx 0,01$$

Ответ

$$\frac{\upsilon_{p}}{\upsilon_{e}}=\sqrt{\frac{m}{M}\cdot \frac{1}{4\sqrt{2}+1}}\approx 0,01$$