Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.63.$ Горизонтальный диск начинают раскручивать вокруг его оси с линейно возрастающей во времени угловой скоростью $\omega = \varepsilon t$. При какой угловой скорости тело, расположенное на расстоянии $r$ от оси диска, начнет соскальзывать с него, если коэффициент трения между ними равен $\mu$?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Из-за того, что угловая скорость меняется, помимо центростремительной скорости $a_{н}$ будет также присутствовать тангенциальное ускорение $a_\tau$
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
Компоненты ускорения на расстоянии $r$ от центра
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
По теореме Пифагора найдем общее ускорение $\vec{a}$
$$a = \sqrt{a_n^2+a_\tau^2}$$
$$a = \sqrt{(\omega^2 R)^2+(\varepsilon R)^2}$$
$$a = \varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon ^2 R^4}$$
Второй закон Ньютона запишем как
$$ma = F_{тр}$$
$$ma = \mu mg$$
$$\varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon ^2 R^4} = \mu g$$
Это равенство выполниться при
$$t = \sqrt{\frac{\mu^2 g^2}{\beta^4 R^2} - \frac{1}{\beta^2}}$$
Откуда находим $\omega$
$$\boxed{\omega = \sqrt[4]{\frac{\mu^2 g^2}{R ^2} − \varepsilon ^2)}}$$
При этом, если $\varepsilon > \mu g/R$, то $a_\tau$ будет настолько большим, что сила трения покоя будет моментально переходить в силу трения скольжения, даже когда $a_n = 0$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$\omega_1 = 0$ при $\varepsilon > \mu g/R;$
</p>
<p>
$\omega_1 = {(\mu^2 g^2 / R^2 − \varepsilon ^2)}^{1/4}$ при $\varepsilon < \mu g/R$
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions