Решебник Савченко

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
  extensions: ['tex2jax.js'],
  jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
  tex2jax: {
    inlineMath: [ ['$','$'], ['\\\(','\\\)'] ],
    processEscapes: true,
    processClass: 'tex2jax',
    ignoreClass: 'html'
  },
  showProcessingMessages: false,
  messageStyle: 'none'
});
</script>

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

<div class="container row">
  <div id="main" class="col col-lg-9">
    <div class="row">
      <div class="col caption">
        <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
      </div>
    </div>

    <div id="1" class="row odd">
      <div class="col col-lg-12">
        <h3> Условие: </h3>
        <div class="task">
          <p>                             
			\\(1.3.3^*.\\)   Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
		</p>

          <center>
          <figure>
            <img src="https://savchenkosolutions.com/en/1.3.3/statement.png"
              loading="lazy" width="200" />
            <figcaption>
              К задаче 1.3.3
            </figcaption>
          </figure>
          </center>

        </div>

        <h3> Решение: </h3>

Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.

Из геометрических соображений:

$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;

$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\\; (1)$$

Шарик будет скатываться с ускорением:

$a = g \cdot \sin{\alpha}$.

Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

$$l = \frac{a t^2}{2}$$

$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$

Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:

$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$

Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)}$$

$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$

Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$

Угол желоба к вертикали равен:

$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$

$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$

        <h4> 
        	Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
        </h4>
        <br>

	  </div>

	</div>

      </div>
    </div>
  </div>
</div>
</div>
<footer class="row container">
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-left">
      <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
        </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-6">
    <div class="footer-middle">
      <p>
        <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br>   
      </p>
    </div>
  </div>
</footer>