Решение

Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.

Из геометрических соображений:

$$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$

$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$

Шарик будет скатываться с ускорением:

$$a = g \cdot \sin{\alpha}$$

Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

$$l = \frac{a t^2}{2}$$

$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$

Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения:

$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$

Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)}$$

$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$

Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$

Угол желоба к вертикали равен:

$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$

$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$