По кольцу радиуса R течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре кольца и на его оси на расстоянии h от центра кольца.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.2.10.$ По кольцу радиуса $R$ течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре кольца и на его оси на расстоянии $h$ от центра кольца.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>

Магнитное поле $B$ будет направлено перпендикулярно плоскости кольца. Рассмотрим участок кольца длиной $Rd\theta$ для него будет справедлива формула из 9.2.8 тогда
$$dB = \frac{\mu_0 I R}{4\pi (R^2 + h^2)}\cdot d\theta$$
но так как поле будет направлено вдоль оси, то там нужна его проекция на эту ось
$$dB\cdot \cos\alpha= \frac{\mu_0 I Rd\theta}{4\pi (R^2 + h^2)} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}$$
$$dB_z = \frac{\mu_0 I R^2d\theta}{4\pi (R^2 + h^2)^{3/2}}$$

При интегрировании $dB_z$ от $0$ до $2\pi$ получим:
$$B(h)=\int_0^{2\pi}dB_z=\int_0^{2\pi}\frac{\mu_0 I R^2}{4\pi (R^2 + h^2)^{3/2}}~d\theta$$
$$B(h) = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$$
подставив $h = 0$ получим известную вам формулу для индуктивности в центре кольца:
$$B(0) = \frac{\mu_0 I}{2R}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$ B=\frac{\mu_0 qv}{4\pi r^2} \sin\alpha; \quad B = \frac{\mu_0 Il}{4\pi r^2}\sin\alpha$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>