| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#11.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#11.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$. | | $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.png" | | <img src="draw.png" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Кольцо будет лететь с потоянной скоростью, потому что сила Ампера $F_A$ будет компензировать силу тяжести $mg$ | | Кольцо будет лететь с потоянной скоростью, потому что сила Ампера $F_A$ будет компензировать силу тяжести $mg$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции | | Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции |
| $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$ | | $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$ |
| Учитывая, что установившаяся скорость постоянна | | Учитывая, что установившаяся скорость постоянна |
| $$v=\text{const}$$ | | $$v=\text{const}$$ |
| $$\frac{dh}{dt} = -v$$ | | $$\frac{dh}{dt} = -v$$ |
| Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$ | | Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$ |
| $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$ | | $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$ |
| Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток | | Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток |
| $$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$ | | $$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$ |
| $$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$ | | $$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$ |
| По закону Ома, индуцированный ток найдём как | | По закону Ома, индуцированный ток найдём как |
| $$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$ | | $$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$ |
| Тогда силу Ампера найдем как | | Тогда силу Ампера найдем как |
| $$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$ | | $$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$ |
| $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$ | | $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$ |
| $$ F_A = \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$ | | $$ F_A = \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$ |
| Условие отсутствия ускорения | | Условие отсутствия ускорения |
| $$ mg = F_A$$ | | $$ mg = F_A$$ |
| $$ \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$ | | $$ \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$ |
| Откуда получаем установившуюся скорость | | Откуда получаем установившуюся скорость |
| $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$ | | $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p>NO: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в <a href="https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart2.pdf" target="_blank">"Очень длинных физических задачах"</a> А.И.Слободянюка "Как гроб Магомета" (Задача 13)</p> | | <p>NO: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в <a href="https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart2.pdf" target="_blank">"Очень длинных физических задачах"</a> А.И.Слободянюка "Как гроб Магомета" (Задача 13)</p> |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>$$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$</p> | | <p>$$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$</p> |
| <h3> | | <h3> |
| Альтернативное решение: | | Альтернативное решение: |
| </h3> | | </h3> |
| | | |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/njGEd43mnoE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/njGEd43mnoE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
