Updated greek laters @ latex compiling

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #9878 предыдущая #9025 GitHub dbb31ba ← раньше позже →
ru/11.1.22.md +6 −6
@@ -49,7 +49,7 @@
<h3> Условие: </h3>
<p>
− $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+αh)$.
+ $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$.
</p>
<h3> Решение: </h3>
@@ -64,34 +64,34 @@
</p>
<p>
Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции
− $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+αh)) $$
+ $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$
Учитывая, что установившаяся скорость постоянна
$$v=\text{const}$$
$$\frac{dh}{dt} = -v$$
Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$
− $$B_\parallel = \frac{αaB_0}{2}$$
+ $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$
Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток
$$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$
$$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$
По закону Ома, индуцированный ток найдём как
$$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$
Тогда силу Ампера найдем как
$$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$
− $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{αaB_0}{2}$$
+ $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$
$$ F_A = \frac{\pi ^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$
Условие отсутствия ускорения
$$ mg = F_A$$
$$ \frac{\pi ^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$
Откуда получаем установившуюся скорость
− $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0πa^2α)^2}}$$
+ $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$
</p>
<p>NO: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в <a href="https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart2.pdf" target="_blank">"Очень длинных физических задачах"</a> А.И.Слободянюка "Как гроб Магомета" (Задача 13)</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
− <p>$$ v = \frac{mgR}{(B_0πa^2α)^2}$$</p>
+ <p>$$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$</p>
<h3>
Альтернативное решение:
</h3>
ещё строк без изменений 18