Решебник Савченко

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
      $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.
  </p>
  <center>
  <figure>
    <img src="statement.png"
      loading="lazy" width="250" />
    <figcaption>
      К задаче 1.5.17
    </figcaption>
  </figure>
  </center>

  <h3> Решение: </h3>


<p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="/1.5.16">1.5.16</a></p>
<p>В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$</p>
<p> $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ </p>
<p>Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
<p> $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ </p>
<p> $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ </p>
<p> $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ </p>
<p>Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$</p>
<p> $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ </p>
<p>Подставляем $(1)$</p>
<p>  $$\omega = \frac{v}{H(1 +  \tan^2 \alpha )}$$ </p>
<p>  $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2  \alpha}{H}$}$$ </p>

  <h3> Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2  \alpha}{H}$</h3>


  <h3> Альтернативное решение: </h3>
  <p>За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние</p>

$$\Delta l=\upsilon\Delta t$$

При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла

$$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$

Угловая скорость определяется как

$$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$

Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.

$$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$

Также можно записать, что

$$H=R\sin\alpha$$

С учетом этого

$$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$

    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">   
      Aliaksandr Melnichenka<br>
    </p>
        <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>