1.5.17 | правка #16171 | Решения Савченко

Условие

1.5.17. Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $$H$$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $$v$$ .

Решение

NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением 1.5.16

В момент времени $$t$$ автомобиль проедет расстояние путь $$vt$$ и дно будет иметь горизонатальную координату $$x$$

$x = H \cot\alpha\tag{1}$

Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $$dt$$

$d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)$

$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$

$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$

Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$

$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$

Подставляем $$(1)$$

$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$

$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$

Ответ

$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$

Альтернативное решение

За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние

$\Delta l=\upsilon\Delta t$

При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$ . Если длина дуги поворота $\Delta x$ , то по определению радианной меры угла

$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$

Угловая скорость определяется как

$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$

Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$ .

$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$

Также можно записать, что

$H=R\sin\alpha$

С учетом этого

$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$