Прямой провод имеет виток радиуса R. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии h от его центра.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.2.14^*.$ Прямой провод имеет виток радиуса $R$. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии $h$ от его центра.

    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Разобьём систему на отдельно провод и кольцо с током с соответствующими им полями $B_1 $ и $B_2$</p><p>

Из школьного курса известно, что поле бесконечного провода
$$B_1 = \frac{\mu_0I}{2\pi l} = \frac{\mu_0 I}{2\sqrt{R^2 + h^2}}$$
Поле кольца мы находили в задаче 9.2.10:
$$B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$$
Стоит отметить что $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ имеют разное направление, вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен плоскости точки и провода, а вектор $\vec{B_2}$ направлен вдоль оси. Несложно показать, что косинус угла между этими векторами
$$\cos\gamma = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$$
тогда

При $h = 0$ подставляем в выражение $(1)$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
	<div class="scroll-wrapper">
	  $$B(h)=\frac{\mu_0I}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}}$$
	</div>

$$B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}( \pi + 1)$$

Andrei Yersh

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>