Правка раздела «Решение»

astrosander правка от 1 дек. 2024 г., 20:07

Посмотреть решение История

правка #11702 предыдущая #11288 ← раньше позже →

ru/1.3.3.md +3 −3

			### Условие:

			$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

			![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)

			### Решение:

			Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
		@@ -10,13 +10,13 @@Решение:

			Из геометрических соображений:

		−	$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;
		+	$$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$

		−	$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$
		+	$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$

			Шарик будет скатываться с ускорением:

		−	$a = g \cdot \sin{\alpha}$.
		+	$$a = g \cdot \sin{\alpha}$$

			Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

			$$l = \frac{a t^2}{2}$$

			$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$

			Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:

			$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$

			Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

			$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$

			$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$

			Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

			$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$

			Угол желоба к вертикали равен:

			$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$

			$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$

			#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.



		ещё строк без изменений 28

	### Условие:		### Условие:

	$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?		$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

	![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)		![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.		Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
	@@ -10,13 +10,13 @@Решение:

	Из геометрических соображений:		Из геометрических соображений:

	$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;		$$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$

	$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$		$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$

	Шарик будет скатываться с ускорением:		Шарик будет скатываться с ускорением:

	$a = g \cdot \sin{\alpha}$.		$$a = g \cdot \sin{\alpha}$$

	Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:		Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

	$$l = \frac{a t^2}{2}$$		$$l = \frac{a t^2}{2}$$

	$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$		$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$

	Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:		Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:

	$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$		$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$

	Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.		Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

	$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$		$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$

	$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$		$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$

	Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:		Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

	$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$		$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$

	Угол желоба к вертикали равен:		Угол желоба к вертикали равен:

	$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$		$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$

	$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$		$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$

	#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.		#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.



	ещё строк без изменений 28