$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
### Решение:
Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
@@ -10,13 +10,13 @@Решение:
Из геометрических соображений:
−
$h = x \cdot\tan{\alpha} + x \cdot\tan{\varphi}$;
+
$$h = x \cdot\tan{\alpha} + x \cdot\tan{\varphi}$$
−
$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$
+
$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$
Шарик будет скатываться с ускорением:
−
$a = g \cdot\sin{\alpha}$.
+
$$a = g \cdot\sin{\alpha}$$
Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:
Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:
$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$
Угол желоба к вертикали равен:
$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$
$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$
#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
unchanged lines 28
### Условие:
### Условие:
$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
### Решение:
### Решение:
Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
@@ -10,13 +10,13 @@Решение:
Из геометрических соображений:
Из геометрических соображений:
$h = x \cdot\tan{\alpha} + x \cdot\tan{\varphi}$;
$$h = x \cdot\tan{\alpha} + x \cdot\tan{\varphi}$$
$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$
$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$
Шарик будет скатываться с ускорением:
Шарик будет скатываться с ускорением:
$a = g \cdot\sin{\alpha}$.
$$a = g \cdot\sin{\alpha}$$
Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:
Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:
