1.5.9∗. Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах $\alpha$ ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол $\alpha$ не меняется при движении.
Решение
Радиус окружности, по которой катится катушка вокруг мгновенной оси, обозначим $R^*$:
$R^* = R \cos\alpha - r$
Угловая скорость катушки $\omega$ определяется как отношение линейной скорости к радиусу:
$$\omega = \frac{v}{R \cos\alpha - r}$$
Скорость оси $v_0$ можно найти, рассматривая вращение катушки как движение вокруг центра $O$:
$v_0 = \omega R$
Подставим найденную угловую скорость:
$$v_0 = \frac{v R}{R \cos\alpha - r}$$
Катушка будет двигаться вправо, если скорость $v_0$ положительна, и влево, если $v_0$ отрицательна. Условие смены направления:
$R \cos\alpha = r$
Соответственно, критический угол $\alpha^*$ определяется из:
$$\cos\alpha^* = \frac{r}{R}$$
Ответ
$u=\frac{v R}{R \cos\alpha -r} ;$$\omega =\frac{v}{R \cos\alpha -r}$ вправо при $\cos\alpha >r / R$, влево при $\cos\alpha < r/R$
