| @@ -1,40 +1,41 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.5.9^*.$ Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах $\alpha$ ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол $\alpha$ не меняется при движении. |
| $1.5.9^*.$ Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах $\alpha$ ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол $\alpha$ не меняется при движении. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Радиус окружности, по которой катится катушка вокруг мгновенной оси, обозначим $ R^* $: |
| Радиус окружности, по которой катится катушка вокруг мгновенной оси, обозначим $ R^* $: |
| |
| |
| $ R^* = R \cos\alpha - r $ |
| $$ R^* = R \cos\alpha - r $$ |
| |
| |
| Угловая скорость катушки $ \omega$ определяется как отношение линейной скорости к радиусу: |
| Угловая скорость катушки $ \omega$ определяется как отношение линейной скорости к радиусу: |
| |
| |
| $$ \omega = \frac{v}{R \cos\alpha - r} $$ |
| $$ \omega = \frac{v}{R \cos\alpha - r} $$ |
| |
| |
| Скорость оси $ v_0 $ можно найти, рассматривая вращение катушки как движение вокруг центра $ O $: |
| Скорость оси $ v_0 $ можно найти, рассматривая вращение катушки как движение вокруг центра $ O $: |
| |
| |
| $ v_0 = \omega R $ |
| $$ v_0 = \omega R $$ |
| |
| |
| Подставим найденную угловую скорость: |
| Подставим найденную угловую скорость: |
| |
| |
| $$ v_0 = \frac{v R}{R \cos\alpha - r} $$ |
| $$ v_0 = \frac{v R}{R \cos\alpha - r} $$ |
| |
| |
| Катушка будет двигаться вправо, если скорость $ v_0 $ положительна, и влево, если $ v_0 $ отрицательна. Условие смены направления: |
| Катушка будет двигаться вправо, если скорость $ v_0 $ положительна, и влево, если $ v_0 $ отрицательна. Условие смены направления: |
| |
| |
| $ R \cos\alpha = r $ |
| $$ R \cos\alpha = r $$ |
| |
| |
| Соответственно, критический угол $ \alpha^* $ определяется из: |
| Соответственно, критический угол $ \alpha^* $ определяется из: |
| |
| |
| $$ \cos\alpha^* = \frac{r}{R} $$ |
| $$ \cos\alpha^* = \frac{r}{R} $$ |
| |
| |
| ### Ответ: |
| ### Ответ: |
| |
| |
| $u=\frac{v R}{R \cos\alpha -r} ;$ $ \omega =\frac{v}{R \cos\alpha -r}$ вправо при $\cos\alpha >r / R$, влево при $\cos\alpha < r/R$ |
| $u=\frac{v R}{R \cos\alpha -r} ;$ |
| |
| $ \omega =\frac{v}{R \cos\alpha -r}$ вправо при $\cos\alpha >r / R$, влево при $\cos\alpha < r/R$ |
| |
| |
| ### Альтернативное решение: |
| ### Альтернативное решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
