| @@ -1,70 +1,69 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.4.9.$ Тело налетает на стенку со скоростью $v$ пол углом $\alpha$ к линии, перпендикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка: |
| $1.4.9.$ Тело налетает на стенку со скоростью $v$ пол углом $\alpha$ к линии, перпендикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка: |
| |
| |
| а) неподвижна; |
| а) неподвижна; |
| |
| |
| б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью $w$ навстречу телу; |
| б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью $w$ навстречу телу; |
| |
| |
| в) движется под углом $\beta$ к линии, перпендикулярной ей самой, со скоростью $w$ навстречу телу |
| в) движется под углом $\beta$ к линии, перпендикулярной ей самой, со скоростью $w$ навстречу телу |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| $а)$ Т.к. соударение упругое, то по Закону Сохранения Импульса: |
| $а)$ Т.к. соударение упругое, то по Закону Сохранения Импульса: |
| |
| |
| $v \sin\alpha = u \sin\alpha$ |
| $$v \sin\alpha = u \sin\alpha$$ |
| |
| |
| $\fbox{$v = u $}$ |
| $$\fbox{$v = u $}$$ |
| |
| |
| $б)$ Далее эта задача немного напоминает [1.4.8](../1.4.8). |
| $б)$ Далее эта задача немного напоминает [1.4.8](../1.4.8). |
| |
| |
| В системе отсчета связанной со стенкой относительная скорость шарика $\vec{v_{отн}} = \vec{v} - \vec{w}$. При упругом отражении, переходя в СО земли скорость равняется $\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$. |
| В системе отсчета связанной со стенкой относительная скорость шарика $\vec{v_{отн}} = \vec{v} - \vec{w}$. При упругом отражении, переходя в СО земли скорость равняется $\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$. |
| |
| |
| Ниже наглядно продемонстрирована работа с векторными величинами |
| Ниже наглядно продемонстрирована работа с векторными величинами |
| |
| |
|  Иллюстрация скоростей шарика |
|  |
| |
| |
| Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси: |
| Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси: |
| |
| |
| $u_y = v \sin\alpha$ |
| $$u_y = v \sin\alpha$$ |
| |
| |
| $u_x = v \cos\alpha + 2w$ |
| $$u_x = v \cos\alpha + 2w$$ |
| |
| |
| Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$ |
| Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$ |
| |
| |
| $u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$ |
| $$u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$$ |
| |
| |
| $u = \sqrt{(v \sin\alpha )^2 + (v \cos\alpha + 2w)^2}$ |
| $$u = \sqrt{(v \sin\alpha )^2 + (v \cos\alpha + 2w)^2}$$ |
| |
| |
| $\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha +4w^{2}}$}$ |
| $$\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha +4w^{2}}$}$$ |
| |
| |
| $в)$ Аналогично предыдущему подпункту |
| $в)$ Аналогично предыдущему подпункту |
| |
| |
| $\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$ |
| $$\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$$ |
| |
| |
| Покажем эти вектора на рисунке |
| Покажем эти вектора на рисунке |
| |
| |
|  Иллюстрация скоростей шарика |
|  Иллюстрация скоростей шарика |
| |
| |
| Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси: |
| Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси: |
| |
| |
| $u_y = v \sin\alpha - 2w \sin\beta$ |
| $$u_y = v \sin\alpha - 2w \sin\beta$$ |
| |
| |
| $u_x = v \cos\alpha + 2w \cos\beta$ |
| $$u_x = v \cos\alpha + 2w \cos\beta$$ |
| |
| |
| Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$ |
| Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$ |
| |
| |
| $u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$ |
| $$u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$$ |
| |
| |
| $u = \sqrt{(v \sin\alpha - 2w \sin\beta )^2 + (v \cos\alpha + 2w \cos\beta )^2}$ |
| $$u = \sqrt{(v \sin\alpha - 2w \sin\beta )^2 + (v \cos\alpha + 2w \cos\beta )^2}$$ |
| |
| |
| $\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta +4w^{2}\cos^{2}\beta}$}$ |
| $$\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta +4w^{2}\cos^{2}\beta}$}$$ |
| |
| |
| ### Ответ: |
| ### Ответ: |
| |
| |
| $\text{a) } u=v.\quad\text{б) } u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha +4w^{2}}.\quad\text{в) } u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta +4w^{2}\cos^{2}\beta}.$ |
| а) $ u=v.$ |
| |
| б) $u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha +4w^{2}}$ |
| |
| в) $u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta +4w^{2}\cos^{2}\beta}.$ |
| |
| |
| |
| |
